Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58426 / 89158
↖ ↑ ↗
← S 54.274848°
W 19.528198°		 ← 178.34 m → S 54.274848°
W 19.525452°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
S 54.276451°
W 19.528198°		 ← 178.33 m →
31 801 m²		 S 54.276451°
W 19.525452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445758819580078 y=0.680225372314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445758819580078 × 217)
    floor (0.445758819580078 × 131072)
    floor (58426.5)     		tx = 58426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680225372314453 × 217)
    floor (0.680225372314453 × 131072)
    floor (89158.5)     		ty = 89158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58426 / 89158 ti = "17/58426/89158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58426/89158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58426 ÷ 217
    58426 ÷ 131072     		x = 0.445755004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89158 ÷ 217
    89158 ÷ 131072     		y = 0.680221557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445755004882812 × 2 - 1) × π
    -0.108489990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34083136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680221557617188 × 2 - 1) × π
    -0.360443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13236544282497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34083136} λ = -0.34083136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13236544282497))-π/2
    2×atan(0.322270042748646)-π/2
    2×0.311760768121173-π/2
    0.623521536242347-1.57079632675     		φ = -0.94727479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34083136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.528198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94727479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.274848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58426 KachelY 89158 -0.34083136 -0.94727479 -19.528198 -54.274848
    Oben rechts KachelX + 1 58427 KachelY 89158 -0.34078342 -0.94727479 -19.525452 -54.274848
    Unten links KachelX 58426 KachelY + 1 89159 -0.34083136 -0.94730278 -19.528198 -54.276451
    Unten rechts KachelX + 1 58427 KachelY + 1 89159 -0.34078342 -0.94730278 -19.525452 -54.276451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94727479--0.94730278) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dl = 178.324289999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94727479--0.94730278) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dr = 178.324289999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34083136--0.34078342) × cos(-0.94727479) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583897654776047 × 6371000     		do = 178.337373294328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34083136--0.34078342) × cos(-0.94730278) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583874931501824 × 6371000     		du = 178.330433021483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94727479)-sin(-0.94730278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583897654776047-0.583874931501824)×R²
    abs(-0.34078342--0.34083136)×2.27232742230354e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27232742230354e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27232742230354e-05×40589641000000     		ar = 31801.2666657741m²