Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58426 / 88082
↖ ↑ ↗
← S 52.512878°
W 19.528198°		 ← 185.88 m → S 52.512878°
W 19.525452°		 →
↑
185.84 m
↓
↑
185.84 m
↓
S 52.514549°
W 19.528198°		 ← 185.87 m →
34 543 m²		 S 52.514549°
W 19.525452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445758819580078 y=0.672016143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445758819580078 × 217)
    floor (0.445758819580078 × 131072)
    floor (58426.5)     		tx = 58426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672016143798828 × 217)
    floor (0.672016143798828 × 131072)
    floor (88082.5)     		ty = 88082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58426 / 88082 ti = "17/58426/88082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58426/88082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58426 ÷ 217
    58426 ÷ 131072     		x = 0.445755004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88082 ÷ 217
    88082 ÷ 131072     		y = 0.672012329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445755004882812 × 2 - 1) × π
    -0.108489990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34083136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672012329101562 × 2 - 1) × π
    -0.344024658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08078533883379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34083136} λ = -0.34083136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08078533883379))-π/2
    2×atan(0.339328932787434)-π/2
    2×0.327136853493962-π/2
    0.654273706987924-1.57079632675     		φ = -0.91652262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34083136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.528198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91652262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.512878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58426 KachelY 88082 -0.34083136 -0.91652262 -19.528198 -52.512878
    Oben rechts KachelX + 1 58427 KachelY 88082 -0.34078342 -0.91652262 -19.525452 -52.512878
    Unten links KachelX 58426 KachelY + 1 88083 -0.34083136 -0.91655179 -19.528198 -52.514549
    Unten rechts KachelX + 1 58427 KachelY + 1 88083 -0.34078342 -0.91655179 -19.525452 -52.514549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91652262--0.91655179) × R
    2.91700000000228e-05 × 6371000     		dl = 185.842070000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91652262--0.91655179) × R
    2.91700000000228e-05 × 6371000     		dr = 185.842070000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34083136--0.34078342) × cos(-0.91652262) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608583097392254 × 6371000     		do = 185.876942872615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34083136--0.34078342) × cos(-0.91655179) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608559951025748 × 6371000     		du = 185.869873376496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91652262)-sin(-0.91655179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608583097392254-0.608559951025748)×R²
    abs(-0.34078342--0.34083136)×2.31463665063547e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31463665063547e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31463665063547e-05×40589641000000     		ar = 34543.0989263005m²