Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58425 / 88073
↖ ↑ ↗
← S 52.497832°
W 19.530945°		 ← 185.90 m → S 52.497832°
W 19.528198°		 →
↑
185.97 m
↓
↑
185.97 m
↓
S 52.499504°
W 19.530945°		 ← 185.89 m →
34 571 m²		 S 52.499504°
W 19.528198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445751190185547 y=0.671947479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445751190185547 × 217)
    floor (0.445751190185547 × 131072)
    floor (58425.5)     		tx = 58425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671947479248047 × 217)
    floor (0.671947479248047 × 131072)
    floor (88073.5)     		ty = 88073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58425 / 88073 ti = "17/58425/88073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58425/88073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58425 ÷ 217
    58425 ÷ 131072     		x = 0.445747375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88073 ÷ 217
    88073 ÷ 131072     		y = 0.671943664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445747375488281 × 2 - 1) × π
    -0.108505249023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34087929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671943664550781 × 2 - 1) × π
    -0.343887329101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.08035390673721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34087929} λ = -0.34087929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08035390673721))-π/2
    2×atan(0.339475361765146)-π/2
    2×0.32726815710708-π/2
    0.65453631421416-1.57079632675     		φ = -0.91626001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34087929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.530945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91626001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.497832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58425 KachelY 88073 -0.34087929 -0.91626001 -19.530945 -52.497832
    Oben rechts KachelX + 1 58426 KachelY 88073 -0.34083136 -0.91626001 -19.528198 -52.497832
    Unten links KachelX 58425 KachelY + 1 88074 -0.34087929 -0.91628920 -19.530945 -52.499504
    Unten rechts KachelX + 1 58426 KachelY + 1 88074 -0.34083136 -0.91628920 -19.528198 -52.499504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91626001--0.91628920) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dl = 185.969490000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91626001--0.91628920) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dr = 185.969490000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34087929--0.34083136) × cos(-0.91626001) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608791454852227 × 6371000     		do = 185.901794500228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34087929--0.34083136) × cos(-0.91628920) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608768297281419 × 6371000     		du = 185.894723057396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91626001)-sin(-0.91628920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608791454852227-0.608768297281419)×R²
    abs(-0.34083136--0.34087929)×2.31575708086185e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31575708086185e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31575708086185e-05×40589641000000     		ar = 34571.4043793501m²