Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58421 / 89156
↖ ↑ ↗
← S 54.271640°
W 19.541931°		 ← 178.35 m → S 54.271640°
W 19.539184°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
S 54.273244°
W 19.541931°		 ← 178.34 m →
31 804 m²		 S 54.273244°
W 19.539184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445720672607422 y=0.680210113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445720672607422 × 217)
    floor (0.445720672607422 × 131072)
    floor (58421.5)     		tx = 58421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680210113525391 × 217)
    floor (0.680210113525391 × 131072)
    floor (89156.5)     		ty = 89156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58421 / 89156 ti = "17/58421/89156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58421/89156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58421 ÷ 217
    58421 ÷ 131072     		x = 0.445716857910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89156 ÷ 217
    89156 ÷ 131072     		y = 0.680206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445716857910156 × 2 - 1) × π
    -0.108566284179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34107104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680206298828125 × 2 - 1) × π
    -0.36041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13226956902573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34107104} λ = -0.34107104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13226956902573))-π/2
    2×atan(0.322300941483192)-π/2
    2×0.311788759453713-π/2
    0.623577518907426-1.57079632675     		φ = -0.94721881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34107104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.541931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94721881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.271640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58421 KachelY 89156 -0.34107104 -0.94721881 -19.541931 -54.271640
    Oben rechts KachelX + 1 58422 KachelY 89156 -0.34102310 -0.94721881 -19.539184 -54.271640
    Unten links KachelX 58421 KachelY + 1 89157 -0.34107104 -0.94724680 -19.541931 -54.273244
    Unten rechts KachelX + 1 58422 KachelY + 1 89157 -0.34102310 -0.94724680 -19.539184 -54.273244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94721881--0.94724680) × R
    2.79900000000888e-05 × 6371000     		dl = 178.324290000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94721881--0.94724680) × R
    2.79900000000888e-05 × 6371000     		dr = 178.324290000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34107104--0.34102310) × cos(-0.94721881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583943099952129 × 6371000     		do = 178.351253420656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34107104--0.34102310) × cos(-0.94724680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583920377592821 × 6371000     		du = 178.34431342725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94721881)-sin(-0.94724680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583943099952129-0.583920377592821)×R²
    abs(-0.34102310--0.34107104)×2.27223593076697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27223593076697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27223593076697e-05×40589641000000     		ar = 31803.7418543264m²