Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58420 / 87412
↖ ↑ ↗
← S 51.378638°
W 19.544678°		 ← 190.64 m → S 51.378638°
W 19.541931°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
S 51.380352°
W 19.544678°		 ← 190.63 m →
36 339 m²		 S 51.380352°
W 19.541931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445713043212891 y=0.666904449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445713043212891 × 217)
    floor (0.445713043212891 × 131072)
    floor (58420.5)     		tx = 58420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666904449462891 × 217)
    floor (0.666904449462891 × 131072)
    floor (87412.5)     		ty = 87412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58420 / 87412 ti = "17/58420/87412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58420/87412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58420 ÷ 217
    58420 ÷ 131072     		x = 0.445709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87412 ÷ 217
    87412 ÷ 131072     		y = 0.666900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445709228515625 × 2 - 1) × π
    -0.10858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34111898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.33380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04866761608835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34111898} λ = -0.34111898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04866761608835))-π/2
    2×atan(0.350404311289099)-π/2
    2×0.337034962200256-π/2
    0.674069924400513-1.57079632675     		φ = -0.89672640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34111898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.544678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89672640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.378638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58420 KachelY 87412 -0.34111898 -0.89672640 -19.544678 -51.378638
    Oben rechts KachelX + 1 58421 KachelY 87412 -0.34107104 -0.89672640 -19.541931 -51.378638
    Unten links KachelX 58420 KachelY + 1 87413 -0.34111898 -0.89675632 -19.544678 -51.380352
    Unten rechts KachelX + 1 58421 KachelY + 1 87413 -0.34107104 -0.89675632 -19.541931 -51.380352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89672640--0.89675632) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89672640--0.89675632) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34111898--0.34107104) × cos(-0.89672640) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624170931936729 × 6371000     		do = 190.637868773361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34111898--0.34107104) × cos(-0.89675632) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624147555525968 × 6371000     		du = 190.630729015806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89672640)-sin(-0.89675632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624170931936729-0.624147555525968)×R²
    abs(-0.34107104--0.34111898)×2.33764107612222e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33764107612222e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33764107612222e-05×40589641000000     		ar = 36338.7710610041m²