Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58417 / 89372
↖ ↑ ↗
← S 54.616617°
W 19.552918°		 ← 176.86 m → S 54.616617°
W 19.550171°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
S 54.618207°
W 19.552918°		 ← 176.85 m →
31 278 m²		 S 54.618207°
W 19.550171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445690155029297 y=0.681858062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445690155029297 × 217)
    floor (0.445690155029297 × 131072)
    floor (58417.5)     		tx = 58417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681858062744141 × 217)
    floor (0.681858062744141 × 131072)
    floor (89372.5)     		ty = 89372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58417 / 89372 ti = "17/58417/89372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58417/89372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58417 ÷ 217
    58417 ÷ 131072     		x = 0.445686340332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89372 ÷ 217
    89372 ÷ 131072     		y = 0.681854248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445686340332031 × 2 - 1) × π
    -0.108627319335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34126279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681854248046875 × 2 - 1) × π
    -0.36370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14262393934366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34126279} λ = -0.34126279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14262393934366))-π/2
    2×atan(0.318980936125974)-π/2
    2×0.308778266456903-π/2
    0.617556532913807-1.57079632675     		φ = -0.95323979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34126279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.552918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95323979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.616617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58417 KachelY 89372 -0.34126279 -0.95323979 -19.552918 -54.616617
    Oben rechts KachelX + 1 58418 KachelY 89372 -0.34121485 -0.95323979 -19.550171 -54.616617
    Unten links KachelX 58417 KachelY + 1 89373 -0.34126279 -0.95326755 -19.552918 -54.618207
    Unten rechts KachelX + 1 58418 KachelY + 1 89373 -0.34121485 -0.95326755 -19.550171 -54.618207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95323979--0.95326755) × R
    2.77599999999323e-05 × 6371000     		dl = 176.858959999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95323979--0.95326755) × R
    2.77599999999323e-05 × 6371000     		dr = 176.858959999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34126279--0.34121485) × cos(-0.95323979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579044745915969 × 6371000     		do = 176.855170014381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34126279--0.34121485) × cos(-0.95326755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579022113082462 × 6371000     		du = 176.848257364459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95323979)-sin(-0.95326755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579044745915969-0.579022113082462)×R²
    abs(-0.34121485--0.34126279)×2.26328335070081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26328335070081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26328335070081e-05×40589641000000     		ar = 31277.8101591788m²