Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58417 / 88847
↖ ↑ ↗
← S 53.773066°
W 19.552918°		 ← 180.50 m → S 53.773066°
W 19.550171°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
S 53.774689°
W 19.552918°		 ← 180.50 m →
32 567 m²		 S 53.774689°
W 19.550171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445690155029297 y=0.677852630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445690155029297 × 217)
    floor (0.445690155029297 × 131072)
    floor (58417.5)     		tx = 58417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677852630615234 × 217)
    floor (0.677852630615234 × 131072)
    floor (88847.5)     		ty = 88847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58417 / 88847 ti = "17/58417/88847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58417/88847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58417 ÷ 217
    58417 ÷ 131072     		x = 0.445686340332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88847 ÷ 217
    88847 ÷ 131072     		y = 0.677848815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445686340332031 × 2 - 1) × π
    -0.108627319335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34126279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677848815917969 × 2 - 1) × π
    -0.355697631835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.11745706704313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34126279} λ = -0.34126279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11745706704313))-π/2
    2×atan(0.32711055810619)-π/2
    2×0.316139640828428-π/2
    0.632279281656857-1.57079632675     		φ = -0.93851705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34126279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.552918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93851705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.773066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58417 KachelY 88847 -0.34126279 -0.93851705 -19.552918 -53.773066
    Oben rechts KachelX + 1 58418 KachelY 88847 -0.34121485 -0.93851705 -19.550171 -53.773066
    Unten links KachelX 58417 KachelY + 1 88848 -0.34126279 -0.93854537 -19.552918 -53.774689
    Unten rechts KachelX + 1 58418 KachelY + 1 88848 -0.34121485 -0.93854537 -19.550171 -53.774689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93851705--0.93854537) × R
    2.83200000000816e-05 × 6371000     		dl = 180.42672000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93851705--0.93854537) × R
    2.83200000000816e-05 × 6371000     		dr = 180.42672000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34126279--0.34121485) × cos(-0.93851705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59098494436385 × 6371000     		do = 180.502013961069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34126279--0.34121485) × cos(-0.93854537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590962098876009 × 6371000     		du = 180.49503636104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93851705)-sin(-0.93854537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59098494436385-0.590962098876009)×R²
    abs(-0.34121485--0.34126279)×2.28454878412609e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28454878412609e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28454878412609e-05×40589641000000     		ar = 32566.7568619129m²