Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58416 / 88013
↖ ↑ ↗
← S 52.397391°
W 19.555664°		 ← 186.37 m → S 52.397391°
W 19.552918°		 →
↑
186.35 m
↓
↑
186.35 m
↓
S 52.399067°
W 19.555664°		 ← 186.36 m →
34 729 m²		 S 52.399067°
W 19.552918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445682525634766 y=0.671489715576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445682525634766 × 217)
    floor (0.445682525634766 × 131072)
    floor (58416.5)     		tx = 58416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671489715576172 × 217)
    floor (0.671489715576172 × 131072)
    floor (88013.5)     		ty = 88013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58416 / 88013 ti = "17/58416/88013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58416/88013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58416 ÷ 217
    58416 ÷ 131072     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88013 ÷ 217
    88013 ÷ 131072     		y = 0.671485900878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671485900878906 × 2 - 1) × π
    -0.342971801757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.07747769276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07747769276))-π/2
    2×atan(0.340453171065874)-π/2
    2×0.328144663522283-π/2
    0.656289327044565-1.57079632675     		φ = -0.91450700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91450700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.397391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58416 KachelY 88013 -0.34131073 -0.91450700 -19.555664 -52.397391
    Oben rechts KachelX + 1 58417 KachelY 88013 -0.34126279 -0.91450700 -19.552918 -52.397391
    Unten links KachelX 58416 KachelY + 1 88014 -0.34131073 -0.91453625 -19.555664 -52.399067
    Unten rechts KachelX + 1 58417 KachelY + 1 88014 -0.34126279 -0.91453625 -19.552918 -52.399067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91450700--0.91453625) × R
    2.92500000000917e-05 × 6371000     		dl = 186.351750000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91450700--0.91453625) × R
    2.92500000000917e-05 × 6371000     		dr = 186.351750000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34126279) × cos(-0.91450700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.610181234667458 × 6371000     		do = 186.365055132516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34126279) × cos(-0.91453625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.610158060746921 × 6371000     		du = 186.357977220687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91450700)-sin(-0.91453625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610181234667458-0.610158060746921)×R²
    abs(-0.34126279--0.34131073)×2.31739205375225e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31739205375225e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31739205375225e-05×40589641000000     		ar = 34728.7946748109m²