Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58415 / 89526
↖ ↑ ↗
← S 54.860801°
W 19.558411°		 ← 175.76 m → S 54.860801°
W 19.555664°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
S 54.862382°
W 19.558411°		 ← 175.75 m →
30 893 m²		 S 54.862382°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445674896240234 y=0.683032989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445674896240234 × 217)
    floor (0.445674896240234 × 131072)
    floor (58415.5)     		tx = 58415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683032989501953 × 217)
    floor (0.683032989501953 × 131072)
    floor (89526.5)     		ty = 89526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58415 / 89526 ti = "17/58415/89526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58415/89526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58415 ÷ 217
    58415 ÷ 131072     		x = 0.445671081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89526 ÷ 217
    89526 ÷ 131072     		y = 0.683029174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445671081542969 × 2 - 1) × π
    -0.108657836914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34135866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683029174804688 × 2 - 1) × π
    -0.366058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15000622188515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34135866} λ = -0.34135866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15000622188515))-π/2
    2×atan(0.31663479930757)-π/2
    2×0.306647356123491-π/2
    0.613294712246982-1.57079632675     		φ = -0.95750161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34135866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.558411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95750161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.860801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58415 KachelY 89526 -0.34135866 -0.95750161 -19.558411 -54.860801
    Oben rechts KachelX + 1 58416 KachelY 89526 -0.34131073 -0.95750161 -19.555664 -54.860801
    Unten links KachelX 58415 KachelY + 1 89527 -0.34135866 -0.95752920 -19.558411 -54.862382
    Unten rechts KachelX + 1 58416 KachelY + 1 89527 -0.34131073 -0.95752920 -19.555664 -54.862382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95750161--0.95752920) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dl = 175.775889999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95750161--0.95752920) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dr = 175.775889999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34135866--0.34131073) × cos(-0.95750161) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575564854024242 × 6371000     		do = 175.7556522214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34135866--0.34131073) × cos(-0.95752920) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575542291913376 × 6371000     		du = 175.748762609425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95750161)-sin(-0.95752920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575564854024242-0.575542291913376)×R²
    abs(-0.34131073--0.34135866)×2.25621108659313e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25621108659313e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25621108659313e-05×40589641000000     		ar = 30893.0006797035m²