Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58415 / 88248
↖ ↑ ↗
← S 52.789476°
W 19.558411°		 ← 184.67 m → S 52.789476°
W 19.555664°		 →
↑
184.70 m
↓
↑
184.70 m
↓
S 52.791137°
W 19.558411°		 ← 184.66 m →
34 106 m²		 S 52.791137°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445674896240234 y=0.673282623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445674896240234 × 217)
    floor (0.445674896240234 × 131072)
    floor (58415.5)     		tx = 58415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673282623291016 × 217)
    floor (0.673282623291016 × 131072)
    floor (88248.5)     		ty = 88248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58415 / 88248 ti = "17/58415/88248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58415/88248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58415 ÷ 217
    58415 ÷ 131072     		x = 0.445671081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88248 ÷ 217
    88248 ÷ 131072     		y = 0.67327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445671081542969 × 2 - 1) × π
    -0.108657836914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34135866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67327880859375 × 2 - 1) × π
    -0.3465576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08874286417072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34135866} λ = -0.34135866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08874286417072))-π/2
    2×atan(0.336639429295409)-π/2
    2×0.324723083758579-π/2
    0.649446167517157-1.57079632675     		φ = -0.92135016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34135866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.558411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92135016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.789476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58415 KachelY 88248 -0.34135866 -0.92135016 -19.558411 -52.789476
    Oben rechts KachelX + 1 58416 KachelY 88248 -0.34131073 -0.92135016 -19.555664 -52.789476
    Unten links KachelX 58415 KachelY + 1 88249 -0.34135866 -0.92137915 -19.558411 -52.791137
    Unten rechts KachelX + 1 58416 KachelY + 1 88249 -0.34131073 -0.92137915 -19.555664 -52.791137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92135016--0.92137915) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dl = 184.695290000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92135016--0.92137915) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dr = 184.695290000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34135866--0.34131073) × cos(-0.92135016) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.604745415302118 × 6371000     		do = 184.666287649747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34135866--0.34131073) × cos(-0.92137915) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.604722326865575 × 6371000     		du = 184.659237317895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92135016)-sin(-0.92137915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604745415302118-0.604722326865575)×R²
    abs(-0.34131073--0.34135866)×2.30884365426398e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30884365426398e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30884365426398e-05×40589641000000     		ar = 34106.3424716085m²