Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58414 / 87593
↖ ↑ ↗
← S 51.687882°
W 19.561157°		 ← 189.35 m → S 51.687882°
W 19.558411°		 →
↑
189.35 m
↓
↑
189.35 m
↓
S 51.689585°
W 19.561157°		 ← 189.34 m →
35 851 m²		 S 51.689585°
W 19.558411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445667266845703 y=0.668285369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445667266845703 × 217)
    floor (0.445667266845703 × 131072)
    floor (58414.5)     		tx = 58414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668285369873047 × 217)
    floor (0.668285369873047 × 131072)
    floor (87593.5)     		ty = 87593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58414 / 87593 ti = "17/58414/87593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58414/87593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58414 ÷ 217
    58414 ÷ 131072     		x = 0.445663452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87593 ÷ 217
    87593 ÷ 131072     		y = 0.668281555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445663452148438 × 2 - 1) × π
    -0.108673095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34140660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668281555175781 × 2 - 1) × π
    -0.336563110351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.05734419491958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34140660} λ = -0.34140660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05734419491958))-π/2
    2×atan(0.34737715234213)-π/2
    2×0.334336298557279-π/2
    0.668672597114559-1.57079632675     		φ = -0.90212373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34140660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.561157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90212373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.687882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58414 KachelY 87593 -0.34140660 -0.90212373 -19.561157 -51.687882
    Oben rechts KachelX + 1 58415 KachelY 87593 -0.34135866 -0.90212373 -19.558411 -51.687882
    Unten links KachelX 58414 KachelY + 1 87594 -0.34140660 -0.90215345 -19.561157 -51.689585
    Unten rechts KachelX + 1 58415 KachelY + 1 87594 -0.34135866 -0.90215345 -19.558411 -51.689585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90212373--0.90215345) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dl = 189.346120000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90212373--0.90215345) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dr = 189.346120000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34140660--0.34135866) × cos(-0.90212373) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619944992862237 × 6371000     		do = 189.347158204339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34140660--0.34135866) × cos(-0.90215345) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619921672930909 × 6371000     		du = 189.340035697056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90212373)-sin(-0.90215345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619944992862237-0.619921672930909)×R²
    abs(-0.34135866--0.34140660)×2.33199313283139e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33199313283139e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33199313283139e-05×40589641000000     		ar = 35851.4754319389m²