Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58412 / 87597
↖ ↑ ↗
← S 51.694693°
W 19.566650°		 ← 189.28 m → S 51.694693°
W 19.563904°		 →
↑
189.35 m
↓
↑
189.35 m
↓
S 51.696395°
W 19.566650°		 ← 189.27 m →
35 839 m²		 S 51.696395°
W 19.563904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445652008056641 y=0.668315887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445652008056641 × 217)
    floor (0.445652008056641 × 131072)
    floor (58412.5)     		tx = 58412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668315887451172 × 217)
    floor (0.668315887451172 × 131072)
    floor (87597.5)     		ty = 87597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58412 / 87597 ti = "17/58412/87597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58412/87597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58412 ÷ 217
    58412 ÷ 131072     		x = 0.445648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87597 ÷ 217
    87597 ÷ 131072     		y = 0.668312072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.10870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34150247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668312072753906 × 2 - 1) × π
    -0.336624145507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.05753594251806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34150247} λ = -0.34150247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05753594251806))-π/2
    2×atan(0.347310549993026)-π/2
    2×0.334276866546609-π/2
    0.668553733093218-1.57079632675     		φ = -0.90224259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34150247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.566650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90224259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.694693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58412 KachelY 87597 -0.34150247 -0.90224259 -19.566650 -51.694693
    Oben rechts KachelX + 1 58413 KachelY 87597 -0.34145454 -0.90224259 -19.563904 -51.694693
    Unten links KachelX 58412 KachelY + 1 87598 -0.34150247 -0.90227231 -19.566650 -51.696395
    Unten rechts KachelX + 1 58413 KachelY + 1 87598 -0.34145454 -0.90227231 -19.563904 -51.696395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90224259--0.90227231) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dl = 189.346120000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90224259--0.90227231) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dr = 189.346120000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34150247--0.34145454) × cos(-0.90224259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619851725546005 × 6371000     		do = 189.279181211847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34150247--0.34145454) × cos(-0.90227231) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619828403424915 × 6371000     		du = 189.272059521607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90224259)-sin(-0.90227231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619851725546005-0.619828403424915)×R²
    abs(-0.34145454--0.34150247)×2.33221210900192e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33221210900192e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33221210900192e-05×40589641000000     		ar = 35838.6043296178m²