Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58412 / 87596
↖ ↑ ↗
← S 51.692990°
W 19.566650°		 ← 189.29 m → S 51.692990°
W 19.563904°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
S 51.694693°
W 19.566650°		 ← 189.28 m →
35 828 m²		 S 51.694693°
W 19.563904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445652008056641 y=0.668308258056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445652008056641 × 217)
    floor (0.445652008056641 × 131072)
    floor (58412.5)     		tx = 58412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668308258056641 × 217)
    floor (0.668308258056641 × 131072)
    floor (87596.5)     		ty = 87596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58412 / 87596 ti = "17/58412/87596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58412/87596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58412 ÷ 217
    58412 ÷ 131072     		x = 0.445648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87596 ÷ 217
    87596 ÷ 131072     		y = 0.668304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.10870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34150247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668304443359375 × 2 - 1) × π
    -0.33660888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05748800561844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34150247} λ = -0.34150247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05748800561844))-π/2
    2×atan(0.347327199383055)-π/2
    2×0.33429172371095-π/2
    0.6685834474219-1.57079632675     		φ = -0.90221288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34150247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.566650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90221288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.692990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58412 KachelY 87596 -0.34150247 -0.90221288 -19.566650 -51.692990
    Oben rechts KachelX + 1 58413 KachelY 87596 -0.34145454 -0.90221288 -19.563904 -51.692990
    Unten links KachelX 58412 KachelY + 1 87597 -0.34150247 -0.90224259 -19.566650 -51.694693
    Unten rechts KachelX + 1 58413 KachelY + 1 87597 -0.34145454 -0.90224259 -19.563904 -51.694693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90221288--0.90224259) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dl = 189.282409999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90221288--0.90224259) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dr = 189.282409999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34150247--0.34145454) × cos(-0.90221288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619875039272588 × 6371000     		do = 189.286300338723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34150247--0.34145454) × cos(-0.90224259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619851725546005 × 6371000     		du = 189.279181211847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90221288)-sin(-0.90224259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619875039272588-0.619851725546005)×R²
    abs(-0.34145454--0.34150247)×2.33137265830408e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33137265830408e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33137265830408e-05×40589641000000     		ar = 35827.8933480544m²