Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58409 / 89255
↖ ↑ ↗
← S 54.430115°
W 19.574890°		 ← 177.63 m → S 54.430115°
W 19.572144°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
S 54.431713°
W 19.574890°		 ← 177.62 m →
31 562 m²		 S 54.431713°
W 19.572144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445629119873047 y=0.680965423583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445629119873047 × 217)
    floor (0.445629119873047 × 131072)
    floor (58409.5)     		tx = 58409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680965423583984 × 217)
    floor (0.680965423583984 × 131072)
    floor (89255.5)     		ty = 89255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58409 / 89255 ti = "17/58409/89255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58409/89255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58409 ÷ 217
    58409 ÷ 131072     		x = 0.445625305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89255 ÷ 217
    89255 ÷ 131072     		y = 0.680961608886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445625305175781 × 2 - 1) × π
    -0.108749389648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34164628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680961608886719 × 2 - 1) × π
    -0.361923217773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.13701532208811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34164628} λ = -0.34164628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13701532208811))-π/2
    2×atan(0.320775004527079)-π/2
    2×0.310405802025934-π/2
    0.620811604051868-1.57079632675     		φ = -0.94998472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34164628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.574890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94998472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.430115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58409 KachelY 89255 -0.34164628 -0.94998472 -19.574890 -54.430115
    Oben rechts KachelX + 1 58410 KachelY 89255 -0.34159835 -0.94998472 -19.572144 -54.430115
    Unten links KachelX 58409 KachelY + 1 89256 -0.34164628 -0.95001261 -19.574890 -54.431713
    Unten rechts KachelX + 1 58410 KachelY + 1 89256 -0.34159835 -0.95001261 -19.572144 -54.431713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94998472--0.95001261) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dl = 177.687190000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94998472--0.95001261) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dr = 177.687190000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34164628--0.34159835) × cos(-0.94998472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581695518384891 × 6371000     		do = 177.627724336021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34164628--0.34159835) × cos(-0.95001261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581672832248121 × 6371000     		du = 177.620796851244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94998472)-sin(-0.95001261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581695518384891-0.581672832248121)×R²
    abs(-0.34159835--0.34164628)×2.26861367699227e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26861367699227e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26861367699227e-05×40589641000000     		ar = 31561.5557429549m²