Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58408 / 88067
↖ ↑ ↗
← S 52.487798°
W 19.577637°		 ← 185.98 m → S 52.487798°
W 19.574890°		 →
↑
185.97 m
↓
↑
185.97 m
↓
S 52.489470°
W 19.577637°		 ← 185.98 m →
34 587 m²		 S 52.489470°
W 19.574890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445621490478516 y=0.671901702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445621490478516 × 217)
    floor (0.445621490478516 × 131072)
    floor (58408.5)     		tx = 58408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671901702880859 × 217)
    floor (0.671901702880859 × 131072)
    floor (88067.5)     		ty = 88067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58408 / 88067 ti = "17/58408/88067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58408/88067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58408 ÷ 217
    58408 ÷ 131072     		x = 0.44561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88067 ÷ 217
    88067 ÷ 131072     		y = 0.671897888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.1087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34169422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671897888183594 × 2 - 1) × π
    -0.343795776367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.08006628533949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34169422} λ = -0.34169422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08006628533949))-π/2
    2×atan(0.339573016186266)-π/2
    2×0.327355717820289-π/2
    0.654711435640577-1.57079632675     		φ = -0.91608489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34169422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.577637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91608489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.487798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58408 KachelY 88067 -0.34169422 -0.91608489 -19.577637 -52.487798
    Oben rechts KachelX + 1 58409 KachelY 88067 -0.34164628 -0.91608489 -19.574890 -52.487798
    Unten links KachelX 58408 KachelY + 1 88068 -0.34169422 -0.91611408 -19.577637 -52.489470
    Unten rechts KachelX + 1 58409 KachelY + 1 88068 -0.34164628 -0.91611408 -19.574890 -52.489470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91608489--0.91611408) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dl = 185.969490000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91608489--0.91611408) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dr = 185.969490000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34169422--0.34164628) × cos(-0.91608489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608930373518701 × 6371000     		do = 185.983009940304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34169422--0.34164628) × cos(-0.91611408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60890721906018 × 6371000     		du = 185.975937972676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91608489)-sin(-0.91611408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608930373518701-0.60890721906018)×R²
    abs(-0.34164628--0.34169422)×2.31544585214127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31544585214127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31544585214127e-05×40589641000000     		ar = 34586.5079246863m²