Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58407 / 89612
↖ ↑ ↗
← S 54.996525°
W 19.580383°		 ← 175.20 m → S 54.996525°
W 19.577637°		 →
↑
175.14 m
↓
↑
175.14 m
↓
S 54.998100°
W 19.580383°		 ← 175.19 m →
30 684 m²		 S 54.998100°
W 19.577637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445613861083984 y=0.683689117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445613861083984 × 217)
    floor (0.445613861083984 × 131072)
    floor (58407.5)     		tx = 58407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683689117431641 × 217)
    floor (0.683689117431641 × 131072)
    floor (89612.5)     		ty = 89612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58407 / 89612 ti = "17/58407/89612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58407/89612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58407 ÷ 217
    58407 ÷ 131072     		x = 0.445610046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89612 ÷ 217
    89612 ÷ 131072     		y = 0.683685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445610046386719 × 2 - 1) × π
    -0.108779907226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34174216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683685302734375 × 2 - 1) × π
    -0.36737060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15412879525247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34174216} λ = -0.34174216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15412879525247))-π/2
    2×atan(0.315332136124012)-π/2
    2×0.305462950663402-π/2
    0.610925901326804-1.57079632675     		φ = -0.95987043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34174216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.580383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95987043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.996525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58407 KachelY 89612 -0.34174216 -0.95987043 -19.580383 -54.996525
    Oben rechts KachelX + 1 58408 KachelY 89612 -0.34169422 -0.95987043 -19.577637 -54.996525
    Unten links KachelX 58407 KachelY + 1 89613 -0.34174216 -0.95989792 -19.580383 -54.998100
    Unten rechts KachelX + 1 58408 KachelY + 1 89613 -0.34169422 -0.95989792 -19.577637 -54.998100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95987043--0.95989792) × R
    2.74899999999079e-05 × 6371000     		dl = 175.138789999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95987043--0.95989792) × R
    2.74899999999079e-05 × 6371000     		dr = 175.138789999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34174216--0.34169422) × cos(-0.95987043) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573626123909427 × 6371000     		do = 175.200183378456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34174216--0.34169422) × cos(-0.95989792) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573603606159471 × 6371000     		du = 175.193305878013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95987043)-sin(-0.95989792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573626123909427-0.573603606159471)×R²
    abs(-0.34169422--0.34174216)×2.25177499563189e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25177499563189e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25177499563189e-05×40589641000000     		ar = 30683.7458679785m²