Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58401 / 89633
↖ ↑ ↗
← S 55.029596°
W 19.596863°		 ← 175.06 m → S 55.029596°
W 19.594116°		 →
↑
175.08 m
↓
↑
175.08 m
↓
S 55.031171°
W 19.596863°		 ← 175.05 m →
30 647 m²		 S 55.031171°
W 19.594116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445568084716797 y=0.683849334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445568084716797 × 217)
    floor (0.445568084716797 × 131072)
    floor (58401.5)     		tx = 58401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683849334716797 × 217)
    floor (0.683849334716797 × 131072)
    floor (89633.5)     		ty = 89633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58401 / 89633 ti = "17/58401/89633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58401/89633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58401 ÷ 217
    58401 ÷ 131072     		x = 0.445564270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89633 ÷ 217
    89633 ÷ 131072     		y = 0.683845520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445564270019531 × 2 - 1) × π
    -0.108871459960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34202978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683845520019531 × 2 - 1) × π
    -0.367691040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.15513547014449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34202978} λ = -0.34202978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15513547014449))-π/2
    2×atan(0.315014858904228)-π/2
    2×0.30517434217683-π/2
    0.610348684353661-1.57079632675     		φ = -0.96044764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34202978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.596863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96044764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.029596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58401 KachelY 89633 -0.34202978 -0.96044764 -19.596863 -55.029596
    Oben rechts KachelX + 1 58402 KachelY 89633 -0.34198184 -0.96044764 -19.594116 -55.029596
    Unten links KachelX 58401 KachelY + 1 89634 -0.34202978 -0.96047512 -19.596863 -55.031171
    Unten rechts KachelX + 1 58402 KachelY + 1 89634 -0.34198184 -0.96047512 -19.594116 -55.031171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96044764--0.96047512) × R
    2.74799999999686e-05 × 6371000     		dl = 175.0750799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96044764--0.96047512) × R
    2.74799999999686e-05 × 6371000     		dr = 175.0750799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34202978--0.34198184) × cos(-0.96044764) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573153225709653 × 6371000     		do = 175.055748095846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34202978--0.34198184) × cos(-0.96047512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573130707056252 × 6371000     		du = 175.048870319467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96044764)-sin(-0.96047512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573153225709653-0.573130707056252)×R²
    abs(-0.34198184--0.34202978)×2.25186534005273e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25186534005273e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25186534005273e-05×40589641000000     		ar = 30647.297040671m²