Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58400 / 93216
↖ ↑ ↗
← S 60.283408°
W 19.599610°		 ← 151.40 m → S 60.283408°
W 19.596863°		 →
↑
151.37 m
↓
↑
151.37 m
↓
S 60.284770°
W 19.599610°		 ← 151.40 m →
22 918 m²		 S 60.284770°
W 19.596863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445560455322266 y=0.711185455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445560455322266 × 217)
    floor (0.445560455322266 × 131072)
    floor (58400.5)     		tx = 58400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.711185455322266 × 217)
    floor (0.711185455322266 × 131072)
    floor (93216.5)     		ty = 93216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58400 / 93216 ti = "17/58400/93216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58400/93216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58400 ÷ 217
    58400 ÷ 131072     		x = 0.445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93216 ÷ 217
    93216 ÷ 131072     		y = 0.711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.10888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34207772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.42236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.32689338148315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34207772} λ = -0.34207772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.32689338148315))-π/2
    2×atan(0.265300168825112)-π/2
    2×0.259326182271502-π/2
    0.518652364543004-1.57079632675     		φ = -1.05214396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34207772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.599610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05214396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.283408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58400 KachelY 93216 -0.34207772 -1.05214396 -19.599610 -60.283408
    Oben rechts KachelX + 1 58401 KachelY 93216 -0.34202978 -1.05214396 -19.596863 -60.283408
    Unten links KachelX 58400 KachelY + 1 93217 -0.34207772 -1.05216772 -19.599610 -60.284770
    Unten rechts KachelX + 1 58401 KachelY + 1 93217 -0.34202978 -1.05216772 -19.596863 -60.284770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05214396--1.05216772) × R
    2.37599999999283e-05 × 6371000     		dl = 151.374959999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05214396--1.05216772) × R
    2.37599999999283e-05 × 6371000     		dr = 151.374959999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34207772--0.34202978) × cos(-1.05214396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.495710185059438 × 6371000     		do = 151.402650097217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34207772--0.34202978) × cos(-1.05216772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.495689549644551 × 6371000     		du = 151.396347510354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05214396)-sin(-1.05216772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495710185059438-0.495689549644551)×R²
    abs(-0.34202978--0.34207772)×2.06354148874488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06354148874488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06354148874488e-05×40589641000000     		ar = 22918.0930765826m²