Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58399 / 90143
↖ ↑ ↗
← S 55.824430°
W 19.602356°		 ← 171.53 m → S 55.824430°
W 19.599610°		 →
↑
171.57 m
↓
↑
171.57 m
↓
S 55.825973°
W 19.602356°		 ← 171.52 m →
29 429 m²		 S 55.825973°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445552825927734 y=0.687740325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445552825927734 × 217)
    floor (0.445552825927734 × 131072)
    floor (58399.5)     		tx = 58399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687740325927734 × 217)
    floor (0.687740325927734 × 131072)
    floor (90143.5)     		ty = 90143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58399 / 90143 ti = "17/58399/90143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58399/90143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58399 ÷ 217
    58399 ÷ 131072     		x = 0.445549011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90143 ÷ 217
    90143 ÷ 131072     		y = 0.687736511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445549011230469 × 2 - 1) × π
    -0.108901977539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34212565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687736511230469 × 2 - 1) × π
    -0.375473022460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.17958328895072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34212565} λ = -0.34212565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17958328895072))-π/2
    2×atan(0.307406811729605)-π/2
    2×0.298238106241526-π/2
    0.596476212483051-1.57079632675     		φ = -0.97432011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34212565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.602356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97432011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.824430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58399 KachelY 90143 -0.34212565 -0.97432011 -19.602356 -55.824430
    Oben rechts KachelX + 1 58400 KachelY 90143 -0.34207772 -0.97432011 -19.599610 -55.824430
    Unten links KachelX 58399 KachelY + 1 90144 -0.34212565 -0.97434704 -19.602356 -55.825973
    Unten rechts KachelX + 1 58400 KachelY + 1 90144 -0.34207772 -0.97434704 -19.599610 -55.825973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97432011--0.97434704) × R
    2.69300000000916e-05 × 6371000     		dl = 171.571030000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97432011--0.97434704) × R
    2.69300000000916e-05 × 6371000     		dr = 171.571030000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34212565--0.34207772) × cos(-0.97432011) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.561730670042656 × 6371000     		do = 171.53121771759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34212565--0.34207772) × cos(-0.97434704) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.561708390106942 × 6371000     		du = 171.524414271193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97432011)-sin(-0.97434704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561730670042656-0.561708390106942)×R²
    abs(-0.34207772--0.34212565)×2.22799357136871e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22799357136871e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22799357136871e-05×40589641000000     		ar = 29429.2040656183m²