Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58399 / 89631
↖ ↑ ↗
← S 55.026448°
W 19.602356°		 ← 175.03 m → S 55.026448°
W 19.599610°		 →
↑
175.08 m
↓
↑
175.08 m
↓
S 55.028022°
W 19.602356°		 ← 175.03 m →
30 643 m²		 S 55.028022°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445552825927734 y=0.683834075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445552825927734 × 217)
    floor (0.445552825927734 × 131072)
    floor (58399.5)     		tx = 58399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683834075927734 × 217)
    floor (0.683834075927734 × 131072)
    floor (89631.5)     		ty = 89631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58399 / 89631 ti = "17/58399/89631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58399/89631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58399 ÷ 217
    58399 ÷ 131072     		x = 0.445549011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89631 ÷ 217
    89631 ÷ 131072     		y = 0.683830261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445549011230469 × 2 - 1) × π
    -0.108901977539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34212565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683830261230469 × 2 - 1) × π
    -0.367660522460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.15503959634525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34212565} λ = -0.34212565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15503959634525))-π/2
    2×atan(0.315045062023389)-π/2
    2×0.305201818444672-π/2
    0.610403636889343-1.57079632675     		φ = -0.96039269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34212565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.602356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96039269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.026448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58399 KachelY 89631 -0.34212565 -0.96039269 -19.602356 -55.026448
    Oben rechts KachelX + 1 58400 KachelY 89631 -0.34207772 -0.96039269 -19.599610 -55.026448
    Unten links KachelX 58399 KachelY + 1 89632 -0.34212565 -0.96042017 -19.602356 -55.028022
    Unten rechts KachelX + 1 58400 KachelY + 1 89632 -0.34207772 -0.96042017 -19.599610 -55.028022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96039269--0.96042017) × R
    2.74799999999686e-05 × 6371000     		dl = 175.0750799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96039269--0.96042017) × R
    2.74799999999686e-05 × 6371000     		dr = 175.0750799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34212565--0.34207772) × cos(-0.96039269) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.573198253523819 × 6371000     		do = 175.032982288595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34212565--0.34207772) × cos(-0.96042017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.573175735735912 × 6371000     		du = 175.026106211169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96039269)-sin(-0.96042017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573198253523819-0.573175735735912)×R²
    abs(-0.34207772--0.34212565)×2.25177879072946e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25177879072946e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25177879072946e-05×40589641000000     		ar = 30643.311463821m²