Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58397 / 88842
↖ ↑ ↗
← S 53.764949°
W 19.607849°		 ← 180.54 m → S 53.764949°
W 19.605103°		 →
↑
180.55 m
↓
↑
180.55 m
↓
S 53.766573°
W 19.607849°		 ← 180.53 m →
32 596 m²		 S 53.766573°
W 19.605103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445537567138672 y=0.677814483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445537567138672 × 217)
    floor (0.445537567138672 × 131072)
    floor (58397.5)     		tx = 58397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677814483642578 × 217)
    floor (0.677814483642578 × 131072)
    floor (88842.5)     		ty = 88842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58397 / 88842 ti = "17/58397/88842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58397/88842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58397 ÷ 217
    58397 ÷ 131072     		x = 0.445533752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88842 ÷ 217
    88842 ÷ 131072     		y = 0.677810668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445533752441406 × 2 - 1) × π
    -0.108932495117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34222153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677810668945312 × 2 - 1) × π
    -0.355621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11721738254503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34222153} λ = -0.34222153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11721738254503))-π/2
    2×atan(0.327188970832915)-π/2
    2×0.316210472640969-π/2
    0.632420945281938-1.57079632675     		φ = -0.93837538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34222153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.607849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93837538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.764949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58397 KachelY 88842 -0.34222153 -0.93837538 -19.607849 -53.764949
    Oben rechts KachelX + 1 58398 KachelY 88842 -0.34217359 -0.93837538 -19.605103 -53.764949
    Unten links KachelX 58397 KachelY + 1 88843 -0.34222153 -0.93840372 -19.607849 -53.766573
    Unten rechts KachelX + 1 58398 KachelY + 1 88843 -0.34217359 -0.93840372 -19.605103 -53.766573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93837538--0.93840372) × R
    2.83400000000711e-05 × 6371000     		dl = 180.554140000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93837538--0.93840372) × R
    2.83400000000711e-05 × 6371000     		dr = 180.554140000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34222153--0.34217359) × cos(-0.93837538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591099221154864 × 6371000     		do = 180.53691703453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34222153--0.34217359) × cos(-0.93840372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591076361905981 × 6371000     		du = 180.529935231524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93837538)-sin(-0.93840372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591099221154864-0.591076361905981)×R²
    abs(-0.34217359--0.34222153)×2.28592488824564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28592488824564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28592488824564e-05×40589641000000     		ar = 32596.0574988013m²