Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58396 / 88844
↖ ↑ ↗
← S 53.768196°
W 19.610596°		 ← 180.49 m → S 53.768196°
W 19.607849°		 →
↑
180.49 m
↓
↑
180.49 m
↓
S 53.769819°
W 19.610596°		 ← 180.48 m →
32 575 m²		 S 53.769819°
W 19.607849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445529937744141 y=0.677829742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445529937744141 × 217)
    floor (0.445529937744141 × 131072)
    floor (58396.5)     		tx = 58396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677829742431641 × 217)
    floor (0.677829742431641 × 131072)
    floor (88844.5)     		ty = 88844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58396 / 88844 ti = "17/58396/88844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58396/88844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58396 ÷ 217
    58396 ÷ 131072     		x = 0.445526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88844 ÷ 217
    88844 ÷ 131072     		y = 0.677825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445526123046875 × 2 - 1) × π
    -0.10894775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34226946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.35565185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11731325634427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34226946} λ = -0.34226946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11731325634427))-π/2
    2×atan(0.327157603486889)-π/2
    2×0.316182138272599-π/2
    0.632364276545199-1.57079632675     		φ = -0.93843205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34226946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.610596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93843205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.768196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58396 KachelY 88844 -0.34226946 -0.93843205 -19.610596 -53.768196
    Oben rechts KachelX + 1 58397 KachelY 88844 -0.34222153 -0.93843205 -19.607849 -53.768196
    Unten links KachelX 58396 KachelY + 1 88845 -0.34226946 -0.93846038 -19.610596 -53.769819
    Unten rechts KachelX + 1 58397 KachelY + 1 88845 -0.34222153 -0.93846038 -19.607849 -53.769819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93843205--0.93846038) × R
    2.83300000000208e-05 × 6371000     		dl = 180.490430000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93843205--0.93846038) × R
    2.83300000000208e-05 × 6371000     		dr = 180.490430000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34226946--0.34222153) × cos(-0.93843205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591053510248696 × 6371000     		do = 180.485299728278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34226946--0.34222153) × cos(-0.93846038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591030658117038 × 6371000     		du = 180.478321554965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93843205)-sin(-0.93846038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591053510248696-0.591030658117038)×R²
    abs(-0.34222153--0.34226946)×2.2852131658202e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2852131658202e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2852131658202e-05×40589641000000     		ar = 32575.2396119397m²