Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58388 / 88828
↖ ↑ ↗
← S 53.742214°
W 19.632568°		 ← 180.63 m → S 53.742214°
W 19.629822°		 →
↑
180.62 m
↓
↑
180.62 m
↓
S 53.743838°
W 19.632568°		 ← 180.63 m →
32 625 m²		 S 53.743838°
W 19.629822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445468902587891 y=0.677707672119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445468902587891 × 217)
    floor (0.445468902587891 × 131072)
    floor (58388.5)     		tx = 58388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677707672119141 × 217)
    floor (0.677707672119141 × 131072)
    floor (88828.5)     		ty = 88828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58388 / 88828 ti = "17/58388/88828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58388/88828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58388 ÷ 217
    58388 ÷ 131072     		x = 0.445465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88828 ÷ 217
    88828 ÷ 131072     		y = 0.677703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.10906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34265296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.35540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11654626595035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34265296} λ = -0.34265296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11654626595035))-π/2
    2×atan(0.327408626479868)-π/2
    2×0.316408874578375-π/2
    0.63281774915675-1.57079632675     		φ = -0.93797858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34265296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.632568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93797858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.742214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58388 KachelY 88828 -0.34265296 -0.93797858 -19.632568 -53.742214
    Oben rechts KachelX + 1 58389 KachelY 88828 -0.34260502 -0.93797858 -19.629822 -53.742214
    Unten links KachelX 58388 KachelY + 1 88829 -0.34265296 -0.93800693 -19.632568 -53.743838
    Unten rechts KachelX + 1 58389 KachelY + 1 88829 -0.34260502 -0.93800693 -19.629822 -53.743838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93797858--0.93800693) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dl = 180.617850000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93797858--0.93800693) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dr = 180.617850000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34265296--0.34260502) × cos(-0.93797858) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.591419233037247 × 6371000     		do = 180.634656900724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34265296--0.34260502) × cos(-0.93800693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59139637237332 × 6371000     		du = 180.627674665528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93797858)-sin(-0.93800693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591419233037247-0.59139637237332)×R²
    abs(-0.34260502--0.34265296)×2.28606639264273e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28606639264273e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28606639264273e-05×40589641000000     		ar = 32625.2128089837m²