Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58386 / 89514
↖ ↑ ↗
← S 54.841827°
W 19.638061°		 ← 175.84 m → S 54.841827°
W 19.635315°		 →
↑
175.84 m
↓
↑
175.84 m
↓
S 54.843408°
W 19.638061°		 ← 175.83 m →
30 919 m²		 S 54.843408°
W 19.635315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445453643798828 y=0.682941436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445453643798828 × 217)
    floor (0.445453643798828 × 131072)
    floor (58386.5)     		tx = 58386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682941436767578 × 217)
    floor (0.682941436767578 × 131072)
    floor (89514.5)     		ty = 89514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58386 / 89514 ti = "17/58386/89514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58386/89514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58386 ÷ 217
    58386 ÷ 131072     		x = 0.445449829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89514 ÷ 217
    89514 ÷ 131072     		y = 0.682937622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445449829101562 × 2 - 1) × π
    -0.109100341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34274883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682937622070312 × 2 - 1) × π
    -0.365875244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14943097908971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34274883} λ = -0.34274883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14943097908971))-π/2
    2×atan(0.316816993592608)-π/2
    2×0.306812939830112-π/2
    0.613625879660225-1.57079632675     		φ = -0.95717045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34274883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.638061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95717045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.841827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58386 KachelY 89514 -0.34274883 -0.95717045 -19.638061 -54.841827
    Oben rechts KachelX + 1 58387 KachelY 89514 -0.34270090 -0.95717045 -19.635315 -54.841827
    Unten links KachelX 58386 KachelY + 1 89515 -0.34274883 -0.95719805 -19.638061 -54.843408
    Unten rechts KachelX + 1 58387 KachelY + 1 89515 -0.34270090 -0.95719805 -19.635315 -54.843408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95717045--0.95719805) × R
    2.76000000000165e-05 × 6371000     		dl = 175.839600000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95717045--0.95719805) × R
    2.76000000000165e-05 × 6371000     		dr = 175.839600000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34274883--0.34270090) × cos(-0.95717045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.575835630581241 × 6371000     		do = 175.838337100726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34274883--0.34270090) × cos(-0.95719805) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.575813065554462 × 6371000     		du = 175.831446598341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95717045)-sin(-0.95719805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575835630581241-0.575813065554462)×R²
    abs(-0.34270090--0.34274883)×2.2565026779775e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2565026779775e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2565026779775e-05×40589641000000     		ar = 30918.7370507474m²