Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58375 / 90086
↖ ↑ ↗
← S 55.736389°
W 19.668274°		 ← 171.96 m → S 55.736389°
W 19.665527°		 →
↑
171.95 m
↓
↑
171.95 m
↓
S 55.737935°
W 19.668274°		 ← 171.95 m →
29 568 m²		 S 55.737935°
W 19.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445369720458984 y=0.687305450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445369720458984 × 217)
    floor (0.445369720458984 × 131072)
    floor (58375.5)     		tx = 58375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687305450439453 × 217)
    floor (0.687305450439453 × 131072)
    floor (90086.5)     		ty = 90086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58375 / 90086 ti = "17/58375/90086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58375/90086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58375 ÷ 217
    58375 ÷ 131072     		x = 0.445365905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90086 ÷ 217
    90086 ÷ 131072     		y = 0.687301635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445365905761719 × 2 - 1) × π
    -0.109268188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34327614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687301635742188 × 2 - 1) × π
    -0.374603271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17685088567238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34327614} λ = -0.34327614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17685088567238))-π/2
    2×atan(0.30824791970955)-π/2
    2×0.299006411374482-π/2
    0.598012822748964-1.57079632675     		φ = -0.97278350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34327614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.668274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97278350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.736389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58375 KachelY 90086 -0.34327614 -0.97278350 -19.668274 -55.736389
    Oben rechts KachelX + 1 58376 KachelY 90086 -0.34322820 -0.97278350 -19.665527 -55.736389
    Unten links KachelX 58375 KachelY + 1 90087 -0.34327614 -0.97281049 -19.668274 -55.737935
    Unten rechts KachelX + 1 58376 KachelY + 1 90087 -0.34322820 -0.97281049 -19.665527 -55.737935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97278350--0.97281049) × R
    2.6989999999949e-05 × 6371000     		dl = 171.953289999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97278350--0.97281049) × R
    2.6989999999949e-05 × 6371000     		dr = 171.953289999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34327614--0.34322820) × cos(-0.97278350) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563001274809356 × 6371000     		do = 171.955080979677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34327614--0.34322820) × cos(-0.97281049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562978968556128 × 6371000     		du = 171.948268075779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97278350)-sin(-0.97281049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563001274809356-0.562978968556128)×R²
    abs(-0.34322820--0.34327614)×2.23062532279661e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23062532279661e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23062532279661e-05×40589641000000     		ar = 29567.656157773m²