Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58374 / 90094
↖ ↑ ↗
← S 55.748758°
W 19.671021°		 ← 171.90 m → S 55.748758°
W 19.668274°		 →
↑
171.89 m
↓
↑
171.89 m
↓
S 55.750304°
W 19.671021°		 ← 171.89 m →
29 547 m²		 S 55.750304°
W 19.668274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445362091064453 y=0.687366485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445362091064453 × 217)
    floor (0.445362091064453 × 131072)
    floor (58374.5)     		tx = 58374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687366485595703 × 217)
    floor (0.687366485595703 × 131072)
    floor (90094.5)     		ty = 90094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58374 / 90094 ti = "17/58374/90094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58374/90094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58374 ÷ 217
    58374 ÷ 131072     		x = 0.445358276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90094 ÷ 217
    90094 ÷ 131072     		y = 0.687362670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445358276367188 × 2 - 1) × π
    -0.109283447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34332408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687362670898438 × 2 - 1) × π
    -0.374725341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17723438086934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34332408} λ = -0.34332408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17723438086934))-π/2
    2×atan(0.308129730776761)-π/2
    2×0.298898474339365-π/2
    0.597796948678729-1.57079632675     		φ = -0.97299938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34332408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.671021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97299938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.748758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58374 KachelY 90094 -0.34332408 -0.97299938 -19.671021 -55.748758
    Oben rechts KachelX + 1 58375 KachelY 90094 -0.34327614 -0.97299938 -19.668274 -55.748758
    Unten links KachelX 58374 KachelY + 1 90095 -0.34332408 -0.97302636 -19.671021 -55.750304
    Unten rechts KachelX + 1 58375 KachelY + 1 90095 -0.34327614 -0.97302636 -19.668274 -55.750304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97299938--0.97302636) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dl = 171.889580000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97299938--0.97302636) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dr = 171.889580000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34332408--0.34327614) × cos(-0.97299938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562822846364529 × 6371000     		do = 171.90058433968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34332408--0.34327614) × cos(-0.97302636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562800545097429 × 6371000     		du = 171.893772958673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97299938)-sin(-0.97302636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562822846364529-0.562800545097429)×R²
    abs(-0.34327614--0.34332408)×2.23012670997891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23012670997891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23012670997891e-05×40589641000000     		ar = 29547.3338429941m²