Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58373 / 90079
↖ ↑ ↗
← S 55.725563°
W 19.673767°		 ← 171.97 m → S 55.725563°
W 19.671021°		 →
↑
171.95 m
↓
↑
171.95 m
↓
S 55.727110°
W 19.673767°		 ← 171.96 m →
29 570 m²		 S 55.727110°
W 19.671021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445354461669922 y=0.687252044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445354461669922 × 217)
    floor (0.445354461669922 × 131072)
    floor (58373.5)     		tx = 58373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687252044677734 × 217)
    floor (0.687252044677734 × 131072)
    floor (90079.5)     		ty = 90079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58373 / 90079 ti = "17/58373/90079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58373/90079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58373 ÷ 217
    58373 ÷ 131072     		x = 0.445350646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90079 ÷ 217
    90079 ÷ 131072     		y = 0.687248229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445350646972656 × 2 - 1) × π
    -0.109298706054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34337201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687248229980469 × 2 - 1) × π
    -0.374496459960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.17651532737504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34337201} λ = -0.34337201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17651532737504))-π/2
    2×atan(0.308351372212849)-π/2
    2×0.299100884347161-π/2
    0.598201768694322-1.57079632675     		φ = -0.97259456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34337201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.673767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97259456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.725563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58373 KachelY 90079 -0.34337201 -0.97259456 -19.673767 -55.725563
    Oben rechts KachelX + 1 58374 KachelY 90079 -0.34332408 -0.97259456 -19.671021 -55.725563
    Unten links KachelX 58373 KachelY + 1 90080 -0.34337201 -0.97262155 -19.673767 -55.727110
    Unten rechts KachelX + 1 58374 KachelY + 1 90080 -0.34332408 -0.97262155 -19.671021 -55.727110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97259456--0.97262155) × R
    2.6989999999949e-05 × 6371000     		dl = 171.953289999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97259456--0.97262155) × R
    2.6989999999949e-05 × 6371000     		dr = 171.953289999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34337201--0.34332408) × cos(-0.97259456) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.563157415361068 × 6371000     		do = 171.966891564314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34337201--0.34332408) × cos(-0.97262155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.563135111979201 × 6371000     		du = 171.960080958351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97259456)-sin(-0.97262155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563157415361068-0.563135111979201)×R²
    abs(-0.34332408--0.34337201)×2.23033818669283e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23033818669283e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23033818669283e-05×40589641000000     		ar = 29569.6872242748m²