Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58372 / 90076
↖ ↑ ↗
← S 55.720923°
W 19.676514°		 ← 172.02 m → S 55.720923°
W 19.673767°		 →
↑
171.95 m
↓
↑
171.95 m
↓
S 55.722469°
W 19.676514°		 ← 172.02 m →
29 579 m²		 S 55.722469°
W 19.673767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445346832275391 y=0.687229156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445346832275391 × 217)
    floor (0.445346832275391 × 131072)
    floor (58372.5)     		tx = 58372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687229156494141 × 217)
    floor (0.687229156494141 × 131072)
    floor (90076.5)     		ty = 90076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58372 / 90076 ti = "17/58372/90076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58372/90076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58372 ÷ 217
    58372 ÷ 131072     		x = 0.445343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90076 ÷ 217
    90076 ÷ 131072     		y = 0.687225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445343017578125 × 2 - 1) × π
    -0.10931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34341995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.37445068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17637151667618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34341995} λ = -0.34341995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17637151667618))-π/2
    2×atan(0.308395719627921)-π/2
    2×0.299141380784174-π/2
    0.598282761568348-1.57079632675     		φ = -0.97251357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34341995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.676514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97251357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.720923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58372 KachelY 90076 -0.34341995 -0.97251357 -19.676514 -55.720923
    Oben rechts KachelX + 1 58373 KachelY 90076 -0.34337201 -0.97251357 -19.673767 -55.720923
    Unten links KachelX 58372 KachelY + 1 90077 -0.34341995 -0.97254056 -19.676514 -55.722469
    Unten rechts KachelX + 1 58373 KachelY + 1 90077 -0.34337201 -0.97254056 -19.673767 -55.722469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97251357--0.97254056) × R
    2.6989999999949e-05 × 6371000     		dl = 171.953289999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97251357--0.97254056) × R
    2.6989999999949e-05 × 6371000     		dr = 171.953289999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34341995--0.34337201) × cos(-0.97251357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.563224339571258 × 6371000     		do = 172.02321069945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34341995--0.34337201) × cos(-0.97254056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.563202037420457 × 6371000     		du = 172.016399048538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97251357)-sin(-0.97254056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563224339571258-0.563202037420457)×R²
    abs(-0.34337201--0.34341995)×2.23021508010124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23021508010124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23021508010124e-05×40589641000000     		ar = 29579.371395132m²