Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58371 / 88959
↖ ↑ ↗
← S 53.954470°
W 19.679260°		 ← 179.72 m → S 53.954470°
W 19.676514°		 →
↑
179.66 m
↓
↑
179.66 m
↓
S 53.956085°
W 19.679260°		 ← 179.71 m →
32 288 m²		 S 53.956085°
W 19.676514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445339202880859 y=0.678707122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445339202880859 × 217)
    floor (0.445339202880859 × 131072)
    floor (58371.5)     		tx = 58371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678707122802734 × 217)
    floor (0.678707122802734 × 131072)
    floor (88959.5)     		ty = 88959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58371 / 88959 ti = "17/58371/88959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58371/88959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58371 ÷ 217
    58371 ÷ 131072     		x = 0.445335388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88959 ÷ 217
    88959 ÷ 131072     		y = 0.678703308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445335388183594 × 2 - 1) × π
    -0.109329223632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34346789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678703308105469 × 2 - 1) × π
    -0.357406616210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.12282599980058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34346789} λ = -0.34346789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12282599980058))-π/2
    2×atan(0.325359029642119)-π/2
    2×0.314556594837869-π/2
    0.629113189675738-1.57079632675     		φ = -0.94168314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34346789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.679260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94168314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.954470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58371 KachelY 88959 -0.34346789 -0.94168314 -19.679260 -53.954470
    Oben rechts KachelX + 1 58372 KachelY 88959 -0.34341995 -0.94168314 -19.676514 -53.954470
    Unten links KachelX 58371 KachelY + 1 88960 -0.34346789 -0.94171134 -19.679260 -53.956085
    Unten rechts KachelX + 1 58372 KachelY + 1 88960 -0.34341995 -0.94171134 -19.676514 -53.956085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94168314--0.94171134) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dl = 179.662200000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94168314--0.94171134) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dr = 179.662200000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34346789--0.34341995) × cos(-0.94168314) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588427956908937 × 6371000     		do = 179.72104417569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34346789--0.34341995) × cos(-0.94171134) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588405155574787 × 6371000     		du = 179.714080061335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94168314)-sin(-0.94171134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588427956908937-0.588405155574787)×R²
    abs(-0.34341995--0.34346789)×2.28013341502242e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28013341502242e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28013341502242e-05×40589641000000     		ar = 32288.4525911337m²