Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58371 / 87530
↖ ↑ ↗
← S 51.580483°
W 19.679260°		 ← 189.80 m → S 51.580483°
W 19.676514°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
S 51.582190°
W 19.679260°		 ← 189.79 m →
36 021 m²		 S 51.582190°
W 19.676514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445339202880859 y=0.667804718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445339202880859 × 217)
    floor (0.445339202880859 × 131072)
    floor (58371.5)     		tx = 58371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667804718017578 × 217)
    floor (0.667804718017578 × 131072)
    floor (87530.5)     		ty = 87530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58371 / 87530 ti = "17/58371/87530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58371/87530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58371 ÷ 217
    58371 ÷ 131072     		x = 0.445335388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87530 ÷ 217
    87530 ÷ 131072     		y = 0.667800903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445335388183594 × 2 - 1) × π
    -0.109329223632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34346789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667800903320312 × 2 - 1) × π
    -0.335601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05432417024352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34346789} λ = -0.34346789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05432417024352))-π/2
    2×atan(0.348427825645195)-π/2
    2×0.335273532616789-π/2
    0.670547065233579-1.57079632675     		φ = -0.90024926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34346789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.679260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90024926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.580483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58371 KachelY 87530 -0.34346789 -0.90024926 -19.679260 -51.580483
    Oben rechts KachelX + 1 58372 KachelY 87530 -0.34341995 -0.90024926 -19.676514 -51.580483
    Unten links KachelX 58371 KachelY + 1 87531 -0.34346789 -0.90027905 -19.679260 -51.582190
    Unten rechts KachelX + 1 58372 KachelY + 1 87531 -0.34341995 -0.90027905 -19.676514 -51.582190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90024926--0.90027905) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dl = 189.792089999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90024926--0.90027905) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dr = 189.792089999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34346789--0.34341995) × cos(-0.90024926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621414696896709 × 6371000     		do = 189.796043646648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34346789--0.34341995) × cos(-0.90027905) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621391356697327 × 6371000     		du = 189.78891494898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90024926)-sin(-0.90027905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621414696896709-0.621391356697327)×R²
    abs(-0.34341995--0.34346789)×2.33401993818827e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33401993818827e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33401993818827e-05×40589641000000     		ar = 36021.1113148006m²