Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58369 / 93187
↖ ↑ ↗
← S 60.243901°
W 19.684753°		 ← 151.59 m → S 60.243901°
W 19.682007°		 →
↑
151.63 m
↓
↑
151.63 m
↓
S 60.245264°
W 19.684753°		 ← 151.58 m →
22 984 m²		 S 60.245264°
W 19.682007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445323944091797 y=0.710964202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445323944091797 × 217)
    floor (0.445323944091797 × 131072)
    floor (58369.5)     		tx = 58369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.710964202880859 × 217)
    floor (0.710964202880859 × 131072)
    floor (93187.5)     		ty = 93187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58369 / 93187 ti = "17/58369/93187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58369/93187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58369 ÷ 217
    58369 ÷ 131072     		x = 0.445320129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93187 ÷ 217
    93187 ÷ 131072     		y = 0.710960388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445320129394531 × 2 - 1) × π
    -0.109359741210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34356376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.710960388183594 × 2 - 1) × π
    -0.421920776367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.32550321139417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34356376} λ = -0.34356376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.32550321139417))-π/2
    2×atan(0.265669237659204)-π/2
    2×0.259670951064622-π/2
    0.519341902129245-1.57079632675     		φ = -1.05145442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34356376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.684753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05145442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.243901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58369 KachelY 93187 -0.34356376 -1.05145442 -19.684753 -60.243901
    Oben rechts KachelX + 1 58370 KachelY 93187 -0.34351582 -1.05145442 -19.682007 -60.243901
    Unten links KachelX 58369 KachelY + 1 93188 -0.34356376 -1.05147822 -19.684753 -60.245264
    Unten rechts KachelX + 1 58370 KachelY + 1 93188 -0.34351582 -1.05147822 -19.682007 -60.245264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05145442--1.05147822) × R
    2.37999999999072e-05 × 6371000     		dl = 151.629799999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05145442--1.05147822) × R
    2.37999999999072e-05 × 6371000     		dr = 151.629799999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34356376--0.34351582) × cos(-1.05145442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.496308924383478 × 6371000     		do = 151.585520498328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34356376--0.34351582) × cos(-1.05147822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.496288262368468 × 6371000     		du = 151.579209787104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05145442)-sin(-1.05147822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496308924383478-0.496288262368468)×R²
    abs(-0.34351582--0.34356376)×2.06620150097758e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06620150097758e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06620150097758e-05×40589641000000     		ar = 22984.4037109456m²