Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58369 / 90097
↖ ↑ ↗
← S 55.753395°
W 19.684753°		 ← 171.88 m → S 55.753395°
W 19.682007°		 →
↑
171.89 m
↓
↑
171.89 m
↓
S 55.754941°
W 19.684753°		 ← 171.87 m →
29 544 m²		 S 55.754941°
W 19.682007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445323944091797 y=0.687389373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445323944091797 × 217)
    floor (0.445323944091797 × 131072)
    floor (58369.5)     		tx = 58369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687389373779297 × 217)
    floor (0.687389373779297 × 131072)
    floor (90097.5)     		ty = 90097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58369 / 90097 ti = "17/58369/90097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58369/90097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58369 ÷ 217
    58369 ÷ 131072     		x = 0.445320129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90097 ÷ 217
    90097 ÷ 131072     		y = 0.687385559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445320129394531 × 2 - 1) × π
    -0.109359741210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34356376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687385559082031 × 2 - 1) × π
    -0.374771118164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.1773781915682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34356376} λ = -0.34356376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1773781915682))-π/2
    2×atan(0.308085421610981)-π/2
    2×0.298858006771114-π/2
    0.597716013542227-1.57079632675     		φ = -0.97308031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34356376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.684753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97308031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.753395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58369 KachelY 90097 -0.34356376 -0.97308031 -19.684753 -55.753395
    Oben rechts KachelX + 1 58370 KachelY 90097 -0.34351582 -0.97308031 -19.682007 -55.753395
    Unten links KachelX 58369 KachelY + 1 90098 -0.34356376 -0.97310729 -19.684753 -55.754941
    Unten rechts KachelX + 1 58370 KachelY + 1 90098 -0.34351582 -0.97310729 -19.682007 -55.754941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97308031--0.97310729) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dl = 171.889580000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97308031--0.97310729) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dr = 171.889580000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34356376--0.34351582) × cos(-0.97308031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562755949600455 × 6371000     		do = 171.880152346009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34356376--0.34351582) × cos(-0.97310729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562733647104534 × 6371000     		du = 171.873340589688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97308031)-sin(-0.97310729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562755949600455-0.562733647104534)×R²
    abs(-0.34351582--0.34356376)×2.23024959211671e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23024959211671e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23024959211671e-05×40589641000000     		ar = 29543.8217637793m²