Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58368 / 89206
↖ ↑ ↗
← S 54.351754°
W 19.687500°		 ← 178 m → S 54.351754°
W 19.684753°		 →
↑
178.01 m
↓
↑
178.01 m
↓
S 54.353355°
W 19.687500°		 ← 178 m →
31 685 m²		 S 54.353355°
W 19.684753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445316314697266 y=0.680591583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445316314697266 × 217)
    floor (0.445316314697266 × 131072)
    floor (58368.5)     		tx = 58368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680591583251953 × 217)
    floor (0.680591583251953 × 131072)
    floor (89206.5)     		ty = 89206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58368 / 89206 ti = "17/58368/89206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58368/89206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58368 ÷ 217
    58368 ÷ 131072     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89206 ÷ 217
    89206 ÷ 131072     		y = 0.680587768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680587768554688 × 2 - 1) × π
    -0.361175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13466641400673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13466641400673))-π/2
    2×atan(0.32152936113785)-π/2
    2×0.311089629520781-π/2
    0.622179259041562-1.57079632675     		φ = -0.94861707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94861707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.351754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58368 KachelY 89206 -0.34361170 -0.94861707 -19.687500 -54.351754
    Oben rechts KachelX + 1 58369 KachelY 89206 -0.34356376 -0.94861707 -19.684753 -54.351754
    Unten links KachelX 58368 KachelY + 1 89207 -0.34361170 -0.94864501 -19.687500 -54.353355
    Unten rechts KachelX + 1 58369 KachelY + 1 89207 -0.34356376 -0.94864501 -19.684753 -54.353355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94861707--0.94864501) × R
    2.79400000000596e-05 × 6371000     		dl = 178.00574000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94861707--0.94864501) × R
    2.79400000000596e-05 × 6371000     		dr = 178.00574000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34356376) × cos(-0.94861707) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.582807429576339 × 6371000     		do = 178.00439045594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34356376) × cos(-0.94864501) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.582784725017071 × 6371000     		du = 177.997455899125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94861707)-sin(-0.94864501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582807429576339-0.582784725017071)×R²
    abs(-0.34356376--0.34361170)×2.27045592677833e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27045592677833e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27045592677833e-05×40589641000000     		ar = 31685.1860530571m²