Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58365 / 90099
↖ ↑ ↗
← S 55.756486°
W 19.695740°		 ← 171.87 m → S 55.756486°
W 19.692993°		 →
↑
171.89 m
↓
↑
171.89 m
↓
S 55.758032°
W 19.695740°		 ← 171.86 m →
29 541 m²		 S 55.758032°
W 19.692993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445293426513672 y=0.687404632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445293426513672 × 217)
    floor (0.445293426513672 × 131072)
    floor (58365.5)     		tx = 58365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687404632568359 × 217)
    floor (0.687404632568359 × 131072)
    floor (90099.5)     		ty = 90099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58365 / 90099 ti = "17/58365/90099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58365/90099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58365 ÷ 217
    58365 ÷ 131072     		x = 0.445289611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90099 ÷ 217
    90099 ÷ 131072     		y = 0.687400817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445289611816406 × 2 - 1) × π
    -0.109420776367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34375551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687400817871094 × 2 - 1) × π
    -0.374801635742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.17747406536744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34375551} λ = -0.34375551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17747406536744))-π/2
    2×atan(0.308055885707002)-π/2
    2×0.298831031064736-π/2
    0.597662062129471-1.57079632675     		φ = -0.97313426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34375551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.695740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97313426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.756486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58365 KachelY 90099 -0.34375551 -0.97313426 -19.695740 -55.756486
    Oben rechts KachelX + 1 58366 KachelY 90099 -0.34370757 -0.97313426 -19.692993 -55.756486
    Unten links KachelX 58365 KachelY + 1 90100 -0.34375551 -0.97316124 -19.695740 -55.758032
    Unten rechts KachelX + 1 58366 KachelY + 1 90100 -0.34370757 -0.97316124 -19.692993 -55.758032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97313426--0.97316124) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dl = 171.889580000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97313426--0.97316124) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dr = 171.889580000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34375551--0.34370757) × cos(-0.97313426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562711352465522 × 6371000     		do = 171.86653123307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34375551--0.34370757) × cos(-0.97316124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562689049150518 × 6371000     		du = 171.859719226581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97313426)-sin(-0.97316124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562711352465522-0.562689049150518)×R²
    abs(-0.34370757--0.34375551)×2.23033150037466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23033150037466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23033150037466e-05×40589641000000     		ar = 29541.4804151542m²