Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58364 / 87468
↖ ↑ ↗
← S 51.474540°
W 19.698486°		 ← 190.20 m → S 51.474540°
W 19.695740°		 →
↑
190.24 m
↓
↑
190.24 m
↓
S 51.476251°
W 19.698486°		 ← 190.19 m →
36 182 m²		 S 51.476251°
W 19.695740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445285797119141 y=0.667331695556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445285797119141 × 217)
    floor (0.445285797119141 × 131072)
    floor (58364.5)     		tx = 58364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667331695556641 × 217)
    floor (0.667331695556641 × 131072)
    floor (87468.5)     		ty = 87468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58364 / 87468 ti = "17/58364/87468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58364/87468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58364 ÷ 217
    58364 ÷ 131072     		x = 0.445281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87468 ÷ 217
    87468 ÷ 131072     		y = 0.667327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.10943603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34380344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667327880859375 × 2 - 1) × π
    -0.33465576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05135208246707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34380344} λ = -0.34380344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05135208246707))-π/2
    2×atan(0.349464924137226)-π/2
    2×0.336198057597385-π/2
    0.67239611519477-1.57079632675     		φ = -0.89840021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34380344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.698486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89840021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.474540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58364 KachelY 87468 -0.34380344 -0.89840021 -19.698486 -51.474540
    Oben rechts KachelX + 1 58365 KachelY 87468 -0.34375551 -0.89840021 -19.695740 -51.474540
    Unten links KachelX 58364 KachelY + 1 87469 -0.34380344 -0.89843007 -19.698486 -51.476251
    Unten rechts KachelX + 1 58365 KachelY + 1 87469 -0.34375551 -0.89843007 -19.695740 -51.476251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89840021--0.89843007) × R
    2.98599999999372e-05 × 6371000     		dl = 190.2380599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89840021--0.89843007) × R
    2.98599999999372e-05 × 6371000     		dr = 190.2380599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34380344--0.34375551) × cos(-0.89840021) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.622862330841134 × 6371000     		do = 190.198505756297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34380344--0.34375551) × cos(-0.89843007) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.622838970145997 × 6371000     		du = 190.191372287007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89840021)-sin(-0.89843007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622862330841134-0.622838970145997)×R²
    abs(-0.34375551--0.34380344)×2.33606951371979e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33606951371979e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33606951371979e-05×40589641000000     		ar = 36182.3162238621m²