Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58363 / 90236
↖ ↑ ↗
← S 55.967650°
W 19.701233°		 ← 170.93 m → S 55.967650°
W 19.698486°		 →
↑
170.93 m
↓
↑
170.93 m
↓
S 55.969187°
W 19.701233°		 ← 170.93 m →
29 218 m²		 S 55.969187°
W 19.698486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445278167724609 y=0.688449859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445278167724609 × 217)
    floor (0.445278167724609 × 131072)
    floor (58363.5)     		tx = 58363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688449859619141 × 217)
    floor (0.688449859619141 × 131072)
    floor (90236.5)     		ty = 90236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58363 / 90236 ti = "17/58363/90236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58363/90236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58363 ÷ 217
    58363 ÷ 131072     		x = 0.445274353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90236 ÷ 217
    90236 ÷ 131072     		y = 0.688446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445274353027344 × 2 - 1) × π
    -0.109451293945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34385138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.37689208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18404142061539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34385138} λ = -0.34385138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18404142061539))-π/2
    2×atan(0.306039401999373)-π/2
    2×0.296988279197842-π/2
    0.593976558395683-1.57079632675     		φ = -0.97681977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34385138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.701233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97681977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.967650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58363 KachelY 90236 -0.34385138 -0.97681977 -19.701233 -55.967650
    Oben rechts KachelX + 1 58364 KachelY 90236 -0.34380344 -0.97681977 -19.698486 -55.967650
    Unten links KachelX 58363 KachelY + 1 90237 -0.34385138 -0.97684660 -19.701233 -55.969187
    Unten rechts KachelX + 1 58364 KachelY + 1 90237 -0.34380344 -0.97684660 -19.698486 -55.969187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97681977--0.97684660) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dl = 170.933930000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97681977--0.97684660) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dr = 170.933930000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34385138--0.34380344) × cos(-0.97681977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.559660898144255 × 6371000     		do = 170.934843964662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34385138--0.34380344) × cos(-0.97684660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.559638663339238 × 6371000     		du = 170.928052882886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97681977)-sin(-0.97684660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559660898144255-0.559638663339238)×R²
    abs(-0.34380344--0.34385138)×2.22348050169519e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22348050169519e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22348050169519e-05×40589641000000     		ar = 29217.9842415281m²