Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58361 / 89216
↖ ↑ ↗
← S 54.367758°
W 19.706726°		 ← 177.90 m → S 54.367758°
W 19.703980°		 →
↑
177.94 m
↓
↑
177.94 m
↓
S 54.369359°
W 19.706726°		 ← 177.89 m →
31 655 m²		 S 54.369359°
W 19.703980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445262908935547 y=0.680667877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445262908935547 × 217)
    floor (0.445262908935547 × 131072)
    floor (58361.5)     		tx = 58361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680667877197266 × 217)
    floor (0.680667877197266 × 131072)
    floor (89216.5)     		ty = 89216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58361 / 89216 ti = "17/58361/89216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58361/89216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58361 ÷ 217
    58361 ÷ 131072     		x = 0.445259094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89216 ÷ 217
    89216 ÷ 131072     		y = 0.6806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445259094238281 × 2 - 1) × π
    -0.109481811523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34394725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6806640625 × 2 - 1) × π
    -0.361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34394725} λ = -0.34394725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13514578300293))-π/2
    2×atan(0.321375266867711)-π/2
    2×0.310949966819796-π/2
    0.621899933639592-1.57079632675     		φ = -0.94889639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34394725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.706726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94889639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.367758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58361 KachelY 89216 -0.34394725 -0.94889639 -19.706726 -54.367758
    Oben rechts KachelX + 1 58362 KachelY 89216 -0.34389932 -0.94889639 -19.703980 -54.367758
    Unten links KachelX 58361 KachelY + 1 89217 -0.34394725 -0.94892432 -19.706726 -54.369359
    Unten rechts KachelX + 1 58362 KachelY + 1 89217 -0.34389932 -0.94892432 -19.703980 -54.369359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94889639--0.94892432) × R
    2.79300000000093e-05 × 6371000     		dl = 177.942030000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94889639--0.94892432) × R
    2.79300000000093e-05 × 6371000     		dr = 177.942030000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34394725--0.34389932) × cos(-0.94889639) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.582580428535012 × 6371000     		do = 177.897942295624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34394725--0.34389932) × cos(-0.94892432) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.582557727556266 × 6371000     		du = 177.891010278671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94889639)-sin(-0.94892432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582580428535012-0.582557727556266)×R²
    abs(-0.34389932--0.34394725)×2.27009787462373e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.27009787462373e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.27009787462373e-05×40589641000000     		ar = 31654.9042383897m²