Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58360 / 90122
↖ ↑ ↗
← S 55.792017°
W 19.709473°		 ← 171.71 m → S 55.792017°
W 19.706726°		 →
↑
171.70 m
↓
↑
171.70 m
↓
S 55.793562°
W 19.709473°		 ← 171.70 m →
29 482 m²		 S 55.793562°
W 19.706726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445255279541016 y=0.687580108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445255279541016 × 217)
    floor (0.445255279541016 × 131072)
    floor (58360.5)     		tx = 58360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687580108642578 × 217)
    floor (0.687580108642578 × 131072)
    floor (90122.5)     		ty = 90122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58360 / 90122 ti = "17/58360/90122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58360/90122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58360 ÷ 217
    58360 ÷ 131072     		x = 0.44525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90122 ÷ 217
    90122 ÷ 131072     		y = 0.687576293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.1094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34399519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687576293945312 × 2 - 1) × π
    -0.375152587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1785766140587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34399519} λ = -0.34399519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1785766140587))-π/2
    2×atan(0.307716426263051)-π/2
    2×0.298520964077112-π/2
    0.597041928154225-1.57079632675     		φ = -0.97375440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34399519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.709473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97375440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.792017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58360 KachelY 90122 -0.34399519 -0.97375440 -19.709473 -55.792017
    Oben rechts KachelX + 1 58361 KachelY 90122 -0.34394725 -0.97375440 -19.706726 -55.792017
    Unten links KachelX 58360 KachelY + 1 90123 -0.34399519 -0.97378135 -19.709473 -55.793562
    Unten rechts KachelX + 1 58361 KachelY + 1 90123 -0.34394725 -0.97378135 -19.706726 -55.793562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97375440--0.97378135) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dl = 171.698449999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97375440--0.97378135) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dr = 171.698449999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34399519--0.34394725) × cos(-0.97375440) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56219860342315 × 6371000     		do = 171.709924477568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34399519--0.34394725) × cos(-0.97378135) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562176315508209 × 6371000     		du = 171.703117174654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97375440)-sin(-0.97378135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56219860342315-0.562176315508209)×R²
    abs(-0.34394725--0.34399519)×2.22879149412991e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22879149412991e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22879149412991e-05×40589641000000     		ar = 29481.7434825395m²