Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58360 / 88979
↖ ↑ ↗
← S 53.986780°
W 19.709473°		 ← 179.58 m → S 53.986780°
W 19.706726°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
S 53.988395°
W 19.709473°		 ← 179.57 m →
32 241 m²		 S 53.988395°
W 19.706726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445255279541016 y=0.678859710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445255279541016 × 217)
    floor (0.445255279541016 × 131072)
    floor (58360.5)     		tx = 58360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678859710693359 × 217)
    floor (0.678859710693359 × 131072)
    floor (88979.5)     		ty = 88979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58360 / 88979 ti = "17/58360/88979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58360/88979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58360 ÷ 217
    58360 ÷ 131072     		x = 0.44525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88979 ÷ 217
    88979 ÷ 131072     		y = 0.678855895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.1094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34399519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678855895996094 × 2 - 1) × π
    -0.357711791992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.12378473779298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34399519} λ = -0.34399519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12378473779298))-π/2
    2×atan(0.325047245062974)-π/2
    2×0.314274630034549-π/2
    0.628549260069097-1.57079632675     		φ = -0.94224707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34399519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.709473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94224707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.986780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58360 KachelY 88979 -0.34399519 -0.94224707 -19.709473 -53.986780
    Oben rechts KachelX + 1 58361 KachelY 88979 -0.34394725 -0.94224707 -19.706726 -53.986780
    Unten links KachelX 58360 KachelY + 1 88980 -0.34399519 -0.94227525 -19.709473 -53.988395
    Unten rechts KachelX + 1 58361 KachelY + 1 88980 -0.34394725 -0.94227525 -19.706726 -53.988395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94224707--0.94227525) × R
    2.81800000000443e-05 × 6371000     		dl = 179.534780000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94224707--0.94227525) × R
    2.81800000000443e-05 × 6371000     		dr = 179.534780000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34399519--0.34394725) × cos(-0.94224707) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587971897962872 × 6371000     		do = 179.581752034605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34399519--0.34394725) × cos(-0.94227525) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58794910345282 × 6371000     		du = 179.574790004504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94224707)-sin(-0.94227525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587971897962872-0.58794910345282)×R²
    abs(-0.34394725--0.34399519)×2.27945100517157e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27945100517157e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27945100517157e-05×40589641000000     		ar = 32240.5453823754m²