Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58358 / 90230
↖ ↑ ↗
← S 55.958426°
W 19.714966°		 ← 170.98 m → S 55.958426°
W 19.712219°		 →
↑
170.93 m
↓
↑
170.93 m
↓
S 55.959963°
W 19.714966°		 ← 170.97 m →
29 225 m²		 S 55.959963°
W 19.712219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445240020751953 y=0.688404083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445240020751953 × 217)
    floor (0.445240020751953 × 131072)
    floor (58358.5)     		tx = 58358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688404083251953 × 217)
    floor (0.688404083251953 × 131072)
    floor (90230.5)     		ty = 90230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58358 / 90230 ti = "17/58358/90230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58358/90230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58358 ÷ 217
    58358 ÷ 131072     		x = 0.445236206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90230 ÷ 217
    90230 ÷ 131072     		y = 0.688400268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445236206054688 × 2 - 1) × π
    -0.109527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34409107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688400268554688 × 2 - 1) × π
    -0.376800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18375379921767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34409107} λ = -0.34409107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18375379921767))-π/2
    2×atan(0.306127438139865)-π/2
    2×0.297068774015486-π/2
    0.594137548030972-1.57079632675     		φ = -0.97665878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34409107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.714966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97665878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.958426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58358 KachelY 90230 -0.34409107 -0.97665878 -19.714966 -55.958426
    Oben rechts KachelX + 1 58359 KachelY 90230 -0.34404313 -0.97665878 -19.712219 -55.958426
    Unten links KachelX 58358 KachelY + 1 90231 -0.34409107 -0.97668561 -19.714966 -55.959963
    Unten rechts KachelX + 1 58359 KachelY + 1 90231 -0.34404313 -0.97668561 -19.712219 -55.959963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97665878--0.97668561) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dl = 170.933930000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97665878--0.97668561) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dr = 170.933930000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34409107--0.34404313) × cos(-0.97665878) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.559794306799815 × 6371000     		do = 170.975590402206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34409107--0.34404313) × cos(-0.97668561) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.559772074412416 × 6371000     		du = 170.968800058833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97665878)-sin(-0.97668561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559794306799815-0.559772074412416)×R²
    abs(-0.34404313--0.34409107)×2.22323873989572e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22323873989572e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22323873989572e-05×40589641000000     		ar = 29224.9492531532m²