Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58356 / 89011
↖ ↑ ↗
← S 54.038425°
W 19.720459°		 ← 179.36 m → S 54.038425°
W 19.717712°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
S 54.040038°
W 19.720459°		 ← 179.35 m →
32 166 m²		 S 54.040038°
W 19.717712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445224761962891 y=0.679103851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445224761962891 × 217)
    floor (0.445224761962891 × 131072)
    floor (58356.5)     		tx = 58356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679103851318359 × 217)
    floor (0.679103851318359 × 131072)
    floor (89011.5)     		ty = 89011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58356 / 89011 ti = "17/58356/89011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58356/89011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58356 ÷ 217
    58356 ÷ 131072     		x = 0.445220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89011 ÷ 217
    89011 ÷ 131072     		y = 0.679100036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.10955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34418694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679100036621094 × 2 - 1) × π
    -0.358200073242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.12531871858082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34418694} λ = -0.34418694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12531871858082))-π/2
    2×atan(0.32454901107229)-π/2
    2×0.3138239409632-π/2
    0.627647881926399-1.57079632675     		φ = -0.94314844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34418694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.720459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94314844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.038425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58356 KachelY 89011 -0.34418694 -0.94314844 -19.720459 -54.038425
    Oben rechts KachelX + 1 58357 KachelY 89011 -0.34413900 -0.94314844 -19.717712 -54.038425
    Unten links KachelX 58356 KachelY + 1 89012 -0.34418694 -0.94317659 -19.720459 -54.040038
    Unten rechts KachelX + 1 58357 KachelY + 1 89012 -0.34413900 -0.94317659 -19.717712 -54.040038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94314844--0.94317659) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94314844--0.94317659) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34418694--0.34413900) × cos(-0.94314844) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587242557820108 × 6371000     		do = 179.358992781789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34418694--0.34413900) × cos(-0.94317659) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587219772667592 × 6371000     		du = 179.352033609721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94314844)-sin(-0.94317659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587242557820108-0.587219772667592)×R²
    abs(-0.34413900--0.34418694)×2.27851525167466e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27851525167466e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27851525167466e-05×40589641000000     		ar = 32166.2723861905m²