Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58355 / 87549
↖ ↑ ↗
← S 51.612900°
W 19.723206°		 ← 189.66 m → S 51.612900°
W 19.720459°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
S 51.614606°
W 19.723206°		 ← 189.65 m →
35 971 m²		 S 51.614606°
W 19.720459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445217132568359 y=0.667949676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445217132568359 × 217)
    floor (0.445217132568359 × 131072)
    floor (58355.5)     		tx = 58355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667949676513672 × 217)
    floor (0.667949676513672 × 131072)
    floor (87549.5)     		ty = 87549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58355 / 87549 ti = "17/58355/87549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58355/87549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58355 ÷ 217
    58355 ÷ 131072     		x = 0.445213317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87549 ÷ 217
    87549 ÷ 131072     		y = 0.667945861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445213317871094 × 2 - 1) × π
    -0.109573364257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34423488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667945861816406 × 2 - 1) × π
    -0.335891723632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.0552349713363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34423488} λ = -0.34423488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0552349713363))-π/2
    2×atan(0.348110621677631)-π/2
    2×0.334990640987133-π/2
    0.669981281974265-1.57079632675     		φ = -0.90081504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34423488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.723206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90081504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.612900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58355 KachelY 87549 -0.34423488 -0.90081504 -19.723206 -51.612900
    Oben rechts KachelX + 1 58356 KachelY 87549 -0.34418694 -0.90081504 -19.720459 -51.612900
    Unten links KachelX 58355 KachelY + 1 87550 -0.34423488 -0.90084481 -19.723206 -51.614606
    Unten rechts KachelX + 1 58356 KachelY + 1 87550 -0.34418694 -0.90084481 -19.720459 -51.614606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90081504--0.90084481) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90081504--0.90084481) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34423488--0.34418694) × cos(-0.90081504) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620971319112233 × 6371000     		do = 189.660624658725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34423488--0.34418694) × cos(-0.90084481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620947984120132 × 6371000     		du = 189.653497551495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90081504)-sin(-0.90084481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620971319112233-0.620947984120132)×R²
    abs(-0.34418694--0.34423488)×2.33349921009429e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33349921009429e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33349921009429e-05×40589641000000     		ar = 35971.2439104239m²