Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58354 / 89609
↖ ↑ ↗
← S 54.991798°
W 19.725952°		 ← 175.18 m → S 54.991798°
W 19.723206°		 →
↑
175.20 m
↓
↑
175.20 m
↓
S 54.993373°
W 19.725952°		 ← 175.18 m →
30 692 m²		 S 54.993373°
W 19.723206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445209503173828 y=0.683666229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445209503173828 × 217)
    floor (0.445209503173828 × 131072)
    floor (58354.5)     		tx = 58354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683666229248047 × 217)
    floor (0.683666229248047 × 131072)
    floor (89609.5)     		ty = 89609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58354 / 89609 ti = "17/58354/89609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58354/89609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58354 ÷ 217
    58354 ÷ 131072     		x = 0.445205688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89609 ÷ 217
    89609 ÷ 131072     		y = 0.683662414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445205688476562 × 2 - 1) × π
    -0.109588623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34428281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683662414550781 × 2 - 1) × π
    -0.367324829101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.15398498455361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34428281} λ = -0.34428281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15398498455361))-π/2
    2×atan(0.315377487519811)-π/2
    2×0.30550419987999-π/2
    0.611008399759981-1.57079632675     		φ = -0.95978793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34428281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.725952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95978793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.991798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58354 KachelY 89609 -0.34428281 -0.95978793 -19.725952 -54.991798
    Oben rechts KachelX + 1 58355 KachelY 89609 -0.34423488 -0.95978793 -19.723206 -54.991798
    Unten links KachelX 58354 KachelY + 1 89610 -0.34428281 -0.95981543 -19.725952 -54.993373
    Unten rechts KachelX + 1 58355 KachelY + 1 89610 -0.34423488 -0.95981543 -19.723206 -54.993373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95978793--0.95981543) × R
    2.75000000000691e-05 × 6371000     		dl = 175.20250000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95978793--0.95981543) × R
    2.75000000000691e-05 × 6371000     		dr = 175.20250000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34428281--0.34423488) × cos(-0.95978793) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.573693699130391 × 6371000     		do = 175.18427256457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34428281--0.34423488) × cos(-0.95981543) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.573671174490569 × 6371000     		du = 175.177394394829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95978793)-sin(-0.95981543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573693699130391-0.573671174490569)×R²
    abs(-0.34423488--0.34428281)×2.25246398213308e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25246398213308e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25246398213308e-05×40589641000000     		ar = 30692.1199797406m²