Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58354 / 89273
↖ ↑ ↗
← S 54.458863°
W 19.725952°		 ← 177.50 m → S 54.458863°
W 19.723206°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
S 54.460460°
W 19.725952°		 ← 177.50 m →
31 517 m²		 S 54.460460°
W 19.723206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445209503173828 y=0.681102752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445209503173828 × 217)
    floor (0.445209503173828 × 131072)
    floor (58354.5)     		tx = 58354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681102752685547 × 217)
    floor (0.681102752685547 × 131072)
    floor (89273.5)     		ty = 89273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58354 / 89273 ti = "17/58354/89273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58354/89273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58354 ÷ 217
    58354 ÷ 131072     		x = 0.445205688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89273 ÷ 217
    89273 ÷ 131072     		y = 0.681098937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445205688476562 × 2 - 1) × π
    -0.109588623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34428281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681098937988281 × 2 - 1) × π
    -0.362197875976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.13787818628127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34428281} λ = -0.34428281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13787818628127))-π/2
    2×atan(0.320498338641321)-π/2
    2×0.310154927969821-π/2
    0.620309855939643-1.57079632675     		φ = -0.95048647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34428281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.725952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95048647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.458863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58354 KachelY 89273 -0.34428281 -0.95048647 -19.725952 -54.458863
    Oben rechts KachelX + 1 58355 KachelY 89273 -0.34423488 -0.95048647 -19.723206 -54.458863
    Unten links KachelX 58354 KachelY + 1 89274 -0.34428281 -0.95051434 -19.725952 -54.460460
    Unten rechts KachelX + 1 58355 KachelY + 1 89274 -0.34423488 -0.95051434 -19.723206 -54.460460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95048647--0.95051434) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95048647--0.95051434) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34428281--0.34423488) × cos(-0.95048647) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.581287318410336 × 6371000     		do = 177.50307556294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34428281--0.34423488) × cos(-0.95051434) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.581264640410737 × 6371000     		du = 177.496150562946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95048647)-sin(-0.95051434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581287318410336-0.581264640410737)×R²
    abs(-0.34423488--0.34428281)×2.26779995986526e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26779995986526e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26779995986526e-05×40589641000000     		ar = 31516.790472627m²