Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58353 / 90063
↖ ↑ ↗
← S 55.700807°
W 19.728699°		 ← 172.11 m → S 55.700807°
W 19.725952°		 →
↑
172.14 m
↓
↑
172.14 m
↓
S 55.702355°
W 19.728699°		 ← 172.10 m →
29 628 m²		 S 55.702355°
W 19.725952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445201873779297 y=0.687129974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445201873779297 × 217)
    floor (0.445201873779297 × 131072)
    floor (58353.5)     		tx = 58353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687129974365234 × 217)
    floor (0.687129974365234 × 131072)
    floor (90063.5)     		ty = 90063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58353 / 90063 ti = "17/58353/90063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58353/90063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58353 ÷ 217
    58353 ÷ 131072     		x = 0.445198059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90063 ÷ 217
    90063 ÷ 131072     		y = 0.687126159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445198059082031 × 2 - 1) × π
    -0.109603881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34433075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687126159667969 × 2 - 1) × π
    -0.374252319335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.17574833698112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34433075} λ = -0.34433075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17574833698112))-π/2
    2×atan(0.308587965474069)-π/2
    2×0.29931692095998-π/2
    0.59863384191996-1.57079632675     		φ = -0.97216248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34433075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.728699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97216248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.700807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58353 KachelY 90063 -0.34433075 -0.97216248 -19.728699 -55.700807
    Oben rechts KachelX + 1 58354 KachelY 90063 -0.34428281 -0.97216248 -19.725952 -55.700807
    Unten links KachelX 58353 KachelY + 1 90064 -0.34433075 -0.97218950 -19.728699 -55.702355
    Unten rechts KachelX + 1 58354 KachelY + 1 90064 -0.34428281 -0.97218950 -19.725952 -55.702355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97216248--0.97218950) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dl = 172.144419999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97216248--0.97218950) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dr = 172.144419999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34433075--0.34428281) × cos(-0.97216248) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563514411933077 × 6371000     		do = 172.111806265411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34433075--0.34428281) × cos(-0.97218950) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563492090336969 × 6371000     		du = 172.104988675402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97216248)-sin(-0.97218950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563514411933077-0.563492090336969)×R²
    abs(-0.34428281--0.34433075)×2.23215961075995e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23215961075995e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23215961075995e-05×40589641000000     		ar = 29627.500261553m²