Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58352 / 90067
↖ ↑ ↗
← S 55.706998°
W 19.731445°		 ← 172.08 m → S 55.706998°
W 19.728699°		 →
↑
172.08 m
↓
↑
172.08 m
↓
S 55.708545°
W 19.731445°		 ← 172.08 m →
29 612 m²		 S 55.708545°
W 19.728699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445194244384766 y=0.687160491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445194244384766 × 217)
    floor (0.445194244384766 × 131072)
    floor (58352.5)     		tx = 58352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687160491943359 × 217)
    floor (0.687160491943359 × 131072)
    floor (90067.5)     		ty = 90067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58352 / 90067 ti = "17/58352/90067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58352/90067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58352 ÷ 217
    58352 ÷ 131072     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90067 ÷ 217
    90067 ÷ 131072     		y = 0.687156677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687156677246094 × 2 - 1) × π
    -0.374313354492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.1759400845796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1759400845796))-π/2
    2×atan(0.308528800145355)-π/2
    2×0.299262898971632-π/2
    0.598525797943264-1.57079632675     		φ = -0.97227053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97227053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.706998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58352 KachelY 90067 -0.34437869 -0.97227053 -19.731445 -55.706998
    Oben rechts KachelX + 1 58353 KachelY 90067 -0.34433075 -0.97227053 -19.728699 -55.706998
    Unten links KachelX 58352 KachelY + 1 90068 -0.34437869 -0.97229754 -19.731445 -55.708545
    Unten rechts KachelX + 1 58353 KachelY + 1 90068 -0.34433075 -0.97229754 -19.728699 -55.708545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97227053--0.97229754) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dl = 172.080710000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97227053--0.97229754) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dr = 172.080710000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34433075) × cos(-0.97227053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.563425147865358 × 6371000     		do = 172.084542721274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34433075) × cos(-0.97229754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.56340283288605 × 6371000     		du = 172.077727152205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97227053)-sin(-0.97229754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563425147865358-0.56340283288605)×R²
    abs(-0.34433075--0.34437869)×2.23149793079358e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23149793079358e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23149793079358e-05×40589641000000     		ar = 29611.8438793012m²