Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58351 / 90065
↖ ↑ ↗
← S 55.703903°
W 19.734192°		 ← 172.06 m → S 55.703903°
W 19.731445°		 →
↑
172.08 m
↓
↑
172.08 m
↓
S 55.705450°
W 19.734192°		 ← 172.06 m →
29 608 m²		 S 55.705450°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445186614990234 y=0.687145233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445186614990234 × 217)
    floor (0.445186614990234 × 131072)
    floor (58351.5)     		tx = 58351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687145233154297 × 217)
    floor (0.687145233154297 × 131072)
    floor (90065.5)     		ty = 90065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58351 / 90065 ti = "17/58351/90065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58351/90065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58351 ÷ 217
    58351 ÷ 131072     		x = 0.445182800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90065 ÷ 217
    90065 ÷ 131072     		y = 0.687141418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445182800292969 × 2 - 1) × π
    -0.109634399414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34442662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687141418457031 × 2 - 1) × π
    -0.374282836914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.17584421078036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34442662} λ = -0.34442662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17584421078036))-π/2
    2×atan(0.308558381391611)-π/2
    2×0.299289908896105-π/2
    0.59857981779221-1.57079632675     		φ = -0.97221651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34442662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.734192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97221651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.703903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58351 KachelY 90065 -0.34442662 -0.97221651 -19.734192 -55.703903
    Oben rechts KachelX + 1 58352 KachelY 90065 -0.34437869 -0.97221651 -19.731445 -55.703903
    Unten links KachelX 58351 KachelY + 1 90066 -0.34442662 -0.97224352 -19.734192 -55.705450
    Unten rechts KachelX + 1 58352 KachelY + 1 90066 -0.34437869 -0.97224352 -19.731445 -55.705450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97221651--0.97224352) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dl = 172.080710000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97221651--0.97224352) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dr = 172.080710000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34442662--0.34437869) × cos(-0.97221651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.563469776590834 × 6371000     		do = 172.062274823529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34442662--0.34437869) × cos(-0.97224352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.563447462433625 × 6371000     		du = 172.055460927186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97221651)-sin(-0.97224352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563469776590834-0.563447462433625)×R²
    abs(-0.34437869--0.34442662)×2.23141572091023e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23141572091023e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23141572091023e-05×40589641000000     		ar = 29608.0121475649m²