Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58351 / 90060
↖ ↑ ↗
← S 55.696164°
W 19.734192°		 ← 172.10 m → S 55.696164°
W 19.731445°		 →
↑
172.14 m
↓
↑
172.14 m
↓
S 55.697712°
W 19.734192°		 ← 172.09 m →
29 625 m²		 S 55.697712°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445186614990234 y=0.687107086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445186614990234 × 217)
    floor (0.445186614990234 × 131072)
    floor (58351.5)     		tx = 58351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687107086181641 × 217)
    floor (0.687107086181641 × 131072)
    floor (90060.5)     		ty = 90060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58351 / 90060 ti = "17/58351/90060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58351/90060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58351 ÷ 217
    58351 ÷ 131072     		x = 0.445182800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90060 ÷ 217
    90060 ÷ 131072     		y = 0.687103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445182800292969 × 2 - 1) × π
    -0.109634399414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34442662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687103271484375 × 2 - 1) × π
    -0.37420654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17560452628226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34442662} λ = -0.34442662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17560452628226))-π/2
    2×atan(0.30863234691623)-π/2
    2×0.299357443067369-π/2
    0.598714886134739-1.57079632675     		φ = -0.97208144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34442662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.734192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97208144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.696164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58351 KachelY 90060 -0.34442662 -0.97208144 -19.734192 -55.696164
    Oben rechts KachelX + 1 58352 KachelY 90060 -0.34437869 -0.97208144 -19.731445 -55.696164
    Unten links KachelX 58351 KachelY + 1 90061 -0.34442662 -0.97210846 -19.734192 -55.697712
    Unten rechts KachelX + 1 58352 KachelY + 1 90061 -0.34437869 -0.97210846 -19.731445 -55.697712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97208144--0.97210846) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dl = 172.144419999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97208144--0.97210846) × R
    2.70199999999887e-05 × 6371000     		dr = 172.144419999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34442662--0.34437869) × cos(-0.97208144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.563581357731658 × 6371000     		do = 172.096347467201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34442662--0.34437869) × cos(-0.97210846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.563559037369528 × 6371000     		du = 172.08953167611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97208144)-sin(-0.97210846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563581357731658-0.563559037369528)×R²
    abs(-0.34437869--0.34442662)×2.23203621306789e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23203621306789e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23203621306789e-05×40589641000000     		ar = 29624.8392705347m²