Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58351 / 89001
↖ ↑ ↗
← S 54.022293°
W 19.734192°		 ← 179.39 m → S 54.022293°
W 19.731445°		 →
↑
179.47 m
↓
↑
179.47 m
↓
S 54.023907°
W 19.734192°		 ← 179.38 m →
32 195 m²		 S 54.023907°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445186614990234 y=0.679027557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445186614990234 × 217)
    floor (0.445186614990234 × 131072)
    floor (58351.5)     		tx = 58351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679027557373047 × 217)
    floor (0.679027557373047 × 131072)
    floor (89001.5)     		ty = 89001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58351 / 89001 ti = "17/58351/89001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58351/89001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58351 ÷ 217
    58351 ÷ 131072     		x = 0.445182800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89001 ÷ 217
    89001 ÷ 131072     		y = 0.679023742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445182800292969 × 2 - 1) × π
    -0.109634399414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34442662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679023742675781 × 2 - 1) × π
    -0.358047485351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.12483934958462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34442662} λ = -0.34442662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12483934958462))-π/2
    2×atan(0.324704627101716)-π/2
    2×0.313964721208192-π/2
    0.627929442416383-1.57079632675     		φ = -0.94286688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34442662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.734192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94286688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.022293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58351 KachelY 89001 -0.34442662 -0.94286688 -19.734192 -54.022293
    Oben rechts KachelX + 1 58352 KachelY 89001 -0.34437869 -0.94286688 -19.731445 -54.022293
    Unten links KachelX 58351 KachelY + 1 89002 -0.34442662 -0.94289505 -19.734192 -54.023907
    Unten rechts KachelX + 1 58352 KachelY + 1 89002 -0.34437869 -0.94289505 -19.731445 -54.023907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94286688--0.94289505) × R
    2.8169999999994e-05 × 6371000     		dl = 179.471069999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94286688--0.94289505) × R
    2.8169999999994e-05 × 6371000     		dr = 179.471069999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34442662--0.34437869) × cos(-0.94286688) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587470432303104 × 6371000     		do = 179.391163773163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34442662--0.34437869) × cos(-0.94289505) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.58744763562059 × 6371000     		du = 179.384202531914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94286688)-sin(-0.94289505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587470432303104-0.58744763562059)×R²
    abs(-0.34437869--0.34442662)×2.27966825133707e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27966825133707e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27966825133707e-05×40589641000000     		ar = 32194.8994422874m²