Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58350 / 89267
↖ ↑ ↗
← S 54.449283°
W 19.736938°		 ← 177.58 m → S 54.449283°
W 19.734192°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
S 54.450880°
W 19.736938°		 ← 177.57 m →
31 531 m²		 S 54.450880°
W 19.734192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445178985595703 y=0.681056976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445178985595703 × 217)
    floor (0.445178985595703 × 131072)
    floor (58350.5)     		tx = 58350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681056976318359 × 217)
    floor (0.681056976318359 × 131072)
    floor (89267.5)     		ty = 89267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58350 / 89267 ti = "17/58350/89267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58350/89267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58350 ÷ 217
    58350 ÷ 131072     		x = 0.445175170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89267 ÷ 217
    89267 ÷ 131072     		y = 0.681053161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445175170898438 × 2 - 1) × π
    -0.109649658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34447456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681053161621094 × 2 - 1) × π
    -0.362106323242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.13759056488355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34447456} λ = -0.34447456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13759056488355))-π/2
    2×atan(0.320590534079503)-π/2
    2×0.310238533087798-π/2
    0.620477066175595-1.57079632675     		φ = -0.95031926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34447456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.736938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95031926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.449283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58350 KachelY 89267 -0.34447456 -0.95031926 -19.736938 -54.449283
    Oben rechts KachelX + 1 58351 KachelY 89267 -0.34442662 -0.95031926 -19.734192 -54.449283
    Unten links KachelX 58350 KachelY + 1 89268 -0.34447456 -0.95034713 -19.736938 -54.450880
    Unten rechts KachelX + 1 58351 KachelY + 1 89268 -0.34442662 -0.95034713 -19.734192 -54.450880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95031926--0.95034713) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95031926--0.95034713) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34447456--0.34442662) × cos(-0.95031926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581423368789645 × 6371000     		do = 177.581662665754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34447456--0.34442662) × cos(-0.95034713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581400693499193 × 6371000     		du = 177.574737048388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95031926)-sin(-0.95034713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581423368789645-0.581400693499193)×R²
    abs(-0.34442662--0.34447456)×2.26752904526339e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26752904526339e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26752904526339e-05×40589641000000     		ar = 31530.7443258758m²